Замкнутые вложенные шары в полном метрическом пространстве

[skobar]

Пример метрического пространства, где замыкание открытого шара не есть соответствующий замкнутый шар оказался совсем тривиальным, всвязи с этим вот более интересная и содержательная задачка:

Привести пример полного метрического пространства и последовательности замкнутых вложенных друг в друга шаров в нем, пересечение которых пусто:

$$\overline{B_1}(r_1)\supset\overline{B_2}(r_2)\supset\overline{B_3}(r_3)\supset\dots , \quad \bigcap_{i=1}^{\infty}\overline{B_i}(r_i)=\varnothing \,.\quad (r_1,r_2,r_3,\ldots>0)$$

Наверное, многие знают критерий полноты пространства, который говорит, что метрическое пространство будет полным тогда и только тогда, когда всякая такая последовательность шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. Несколько удивительным представляется тот факт, что если отказаться от условия $r_n\to 0$ при $n\to\infty$, то вроде как шары становятся только больше, а пересечение их уже может оказаться пустым.

Я понимаю, что это известный пример, который много где есть, так что задачка, очевидно, представляет интерес только для тех, кто ещё с ней не знаком :)

[mihaild]

Задача со звездочкой: то же самое, но в банаховом пространстве, а не просто в метрическом.

[skobar]

mihaild в сообщении #1677039 писал(а):

Задача со звездочкой: то же самое, но в банаховом пространстве, а не просто в метрическом.

Хе-хе ... в банаховом пространстве не пройдет :) Оно слишком хорошее для таких аномалий.
Кстати, не просто в "метрическом", а в "полном метрическом".

[skobar]

Чтобы завершить ветку выложу решение. Пример можно посмотреть, скажем, здесь:
https://math.stackexchange.com/question ... tersection
Аналогичный (но не точно такой же) пример можно найти в книге Гелбаума, Олмстеда "Контрпримеры в анализе", глава 12.

mihaild в сообщении #1677039 писал(а):

Задача со звездочкой: то же самое, но в банаховом пространстве, а не просто в метрическом.

Почему в банаховом пространстве пересечение замкнутых вложенных друг в друга шаров будет уже всегда непустым:

1. Доказываем, что если $\overline{B}(r_1)\subset \overline{B}(r_2)$, то $r_1\leq r_2$ (верно в любом нормированном пространстве) - нетрудное упражнение. Отсюда следует, что радиусы последовательности вложенных друг в друга шаров сходятся, как убывающая ограниченная снизу последовательность.
2. Доказываем, что если $\overline{B}(c_1,r_1)\subset \overline{B}(c_2,r_2)$, то $\|c_1-c_2\|\leq r_2-r_1$ (также верно в любом нормированном пространстве) - чуточку более трудное упражнение, но тоже совсем несложное.
3. Используя 2 и 1 доказываем следующее: если $\overline{B_1}(c_1,r_1)\supset\overline{B_2}(c_2,r_2)\supset\overline{B_3}(c_3,r_3)\supset\dots$ - последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров в нормированном пространстве, то последовательность их центров $c_1,c_2,\dots$ будет фундаментальной.
4. В банаховом пространстве последовательность центров шаров будет сходится к какому-то $c$, будучи фундаментальной. Используя замкнутость шаров легко показать, что $c$ будет принадлежать пересечению всех шаров.

Всё!

[thething]

Ещё в тему: в рефлексивном пространстве последовательность вложенных выпуклых замкнутых ограниченных множеств имеет непустое пересечение.

[Padawan]

thething
Потому что они компактны в слабой топологии