Предел последовательности. Синус на число

[AntonioVivaldi]

$$\begin{aligned} & x_n=\frac{\sin 1}{1}+\frac{\sin 2}{2^2}+\frac{\sin 3}{3^2}+\ldots+\frac{\sin n}{n^2} \quad \lim _{n \rightarrow \infty} x_n-? \\ & find \end{aligned}$$

Здравствуйте, то что последовательность имеет предел - мне очевидно (фундаментальная) . Но вот как найти значение. Как можно, например, получить оценки для леммы о двух милиционерах?...


Ещё была вот какая идея, но мне не помогла:

Попробовать поиграться с комплексными числами. Взять член, умножить на i и прибавить аналогичную штуку с косинусами, чтобы перейти к экспоненте

[B@R5uk]

Правильнее будет сказать, что вы ищете сумму бесконечного ряда

$$S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k}{k^2}$$

Если синус из числителя выкинуть, то сумма будет сходится к значению дзета-функции Римана в двойке (по определению). Это значение даже красивое выражение имеет (пи квадрат на шесть). Но считается это не совсем тривиально, и полную вашу сумму посчитать тоже будет не просто. Наверное.

[Null]

Спецфункция получается или $re\left(\int_{0}^{1}-\ln(1-e^x)dx\right)$

[B@R5uk]

Вообще, Вольфрам Альфа выдаёт значение с полилогарифмом.

Чтобы ручками это показать, возможно, можно следовать таким путём. Ввести функцию

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\exp(kx)}{k^2}$$

Мнимая часть значения этой функции в мнимой единице есть ваша искомая сумма. Продифференцировать эту функцию два раза, что убьёт квадрат индекса суммирования в знаменателе. Затем просуммировать, затем проинтегрировать два раза. Там как раз получится полилогарифм после второго интегрирования. Придётся найти две константы интегрирования, подставляя значения искомой функции в контрольных (удобосчитаемых) точках. А потом рукомахательством объяснить, почему несмотря то, что области сходимости на каждом шаге разные и не совпадают, формальное вычисление даёт правильный результат.