Параметрическое уравнение высоты тр-ка

[Мироника]

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста как быть с такой задачкой:
Даны вершины треугольника А(1;2;-4), В(3;-2;-2), С(5;0;-6). Составить параметрическое уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.
Какую формулу здесь использовать?

[ewert]

Для начала полезно вспомнить (или узнать), что такое параметрические уравнения прямой и в чём геометрический смысл их коэффициентов.

[Мироника]

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид
$x=x_0+lt, y=y_0+mt, z=z_0+nt$
Здесь ${l, m, n}$ - координаты направляющего вектора

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Но как их найти?
Я нашла уравнение прямой АС:
$\frac {x-1} {2} = \frac {y-2} {-1} = \frac {z+4} {-1}$
Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

[ewert]

Мироника писал(а):

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид
$x=x_0+lt, y=y_0+mt, z=z_0+nt$
Здесь ${l, m, n}$ - координаты направляющего вектора

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Но как их найти?
Я нашла уравнение прямой АС:
$\frac {x-1} {2} = \frac {y-2} {-1} = \frac {z+4} {-1}$

Правильно.

Мироника писал(а):

Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

Да нет конечно! с чего вдруг?

[Someone]

Мироника писал(а):

Я нашла уравнение прямой АС:
$\frac {x-1} {2} = \frac {y-2} {-1} = \frac {z+4} {-1}$
Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

Ерунда какая-то. Это каноническое уравнение прямой. Как оно выглядит в общем виде? И какие там будут $l,m,n$?

Направляющий вектор высоты $\vec a$ перпендикулярен вектору $\overrightarrow{AC}$ и лежит в плоскости $\triangle ABC$. В частности, он является линейной комбинацией векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$. Даже можно взять $\vec a=\overrightarrow{AB}-\lambda\overrightarrow{AC}$.

[ewert]

(я так понял, что Мироника таким своеобразным способом записала равенство нулю скалярного произведения)

[Мироника]

ewert в сообщении #167616 писал(а):

Мироника писал(а):
Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

Да нет конечно! с чего вдруг?

Мне ведь нужно найти параметрические уравнения высоты из вершины В на сторону АС. Следовательно? искомая прямая перпендикулярна АС. Вот я и пользуюсь условием перпендикулярности прямых в пространстве $l_1l_2=m_1m_2=n_1n_2$
В чем здесь ошибка?

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

ой, поняла. я хотела написать $ 2l-m-n=0$

[Someone]

Мироника в сообщении #167622 писал(а):

В чем здесь ошибка?

В том, что это вовсе не условие перпендикулярности.

[Алексей К.]

Мироника писал(а):

Получается, что $2l=-m=-n$
Так?

Так это или не так, но это, по-моему, совсем не интересно.
Давайте, например, рассмотрим парам. уравнение прямой $AC$ как уравнение некой подвижной точки $P(t)=\left(x(t),y(t),z(t)\right)$, и спросим себя: "при каком $t=t_0$ вектор $AC$ будет перпендикулярен вектору $BP(t_0)$?" Это и будет вожделенная высота.

[Мироника]

Так?

[Someone]

Мироника в сообщении #167622 писал(а):

ой, поняла. я хотела написать

Да, это другое дело. Только этого для решения задачи не хватит: уравнение одно, а неизвестных три или две, если учесть, что они нужны с точностью до пропорциональности.

[Мироника]

Параметрические уравнения прямой АС имеет вид
$x=1+2t$
$y=2-t$
$z=-4-t$
А вот про $t=t_0$ при котором АС перпендикулярен ВР не понимаю?

[ewert]

Вообще-то эту задачу можно решать кучей способов. Вот, на мой взгляд, логически наиболее прямолинейный (хотя и не самый очевидный).

1). Находим (с помощью векторного произведения) вектор, перпендикулярный к треугольнику.

2). Находим (аналогично) вектор, перпендикулярный к только что найденному и к вектору $\overrightarrow{AC}$.

Это и будет искомый направляющий вектор высоты.

[Алексей К.]

Скалярное произведение $AC=(4,-2,-2)$ на $BP=(x(t)-3,y(t)+2,z(t)+2)$ равно нулю.

[Someone]

Ну, вот у Вас есть точка $M(1+2t;2-t;-4-t)$ и точка $B(3;-2;-2)$. При каком условии будет $\overrightarrow{BM}\perp\overrightarrow{AC}$?

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

Во как активно Вам помогают...