Лагранжев формализм в классической механике

[drzewo]

Ссылка на файл pdf

[Утундрий]

Есть какой-то глубокий смысл считать координату — столбцом, а силу — строкой? Уравнение $(2)$ выглядит странно.

[drzewo]

Ковекторы принято обозначать строками, векторы и наборы координат -- столбцами.

[Утундрий]

(Оффтоп)

— Почему обозначения такие?
— Потому что обозначения такие.

[drzewo]

Принципиальная методическая новизна данного текста состоит в следующем.
1) Доказывается независимость динамики системы на многообразии заданном идеальными связями от функций, задающих это многообразие,
2) Теорема о ковариантности вариационной производной сформулирована в более общем виде чем обычно.
3) Уравнения Лагранжа выводятся не с помощью серии трюков, восходящих к самому Лагранжу, а из соображений ковариантности вариационной производной.

-- 09.02.2025, 13:35 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1673760 писал(а):

— Почему обозначения такие?
— Потому что обозначения такие.

лишний раз убедился, что наиболее адекватный способ общения с Вами -- игнор

[Утундрий]

Имхо, смысл данного опуса заключается в том, что автору показалось будто он перелагранжил Лагранжа.

[amon]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1673827 писал(а):

Имхо, смысл данного опуса заключается в том, что автору показалось будто он перелагранжил Лагранжа.

Как говорил Козьма Прутков, и терпентин на что-нибудь полезен. Задача физиков - хоть как-то решить задачу. Задача математиков - объяснить, почему решение иногда бывает правильное, и в каких случаях физики проврались. С этой точки зрения, вполне полезный текст.

[drzewo]

Вот простой вопрос на понимание лагранжева формализма. Имеется материальная точка в $\mathbb{R}^3$:

$$L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2).$$

на точку наложена идеальная связь:
a) $\dot z=x\dot y$
б) $\dot z=x\dot y+y\dot x$.

Правильно ли будет сказать, что с учетом идеальной связи мы получаем систему с двумя степенями свободы в координатах $x,y$ с лагранжианом
в случае a) $L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2+(x\dot y)^2),$
и в случае
b) $L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2+(x\dot y+y\dot x)^2).$


-- 09.02.2025, 23:34 --

Ответ, конечно, надо обосновать

-- 09.02.2025, 23:46 --

Или так. Лагранжиан тот же

$$L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2).$$

Предположим, что имеется идеальная связь $z=x^2+y^2+C$. Верно ли, что данная система описывается лагранжианом

$$L=\frac{1}{2}\Big(\dot x^2+\dot y^2+(2x\dot x+2y\dot y)^2\Big).$$

?
Если верно, то что делать с константой $C$, от которой зависит связь, но не лагранжиан?

-- 10.02.2025, 00:22 --

Или так. Лагранжиан тот же, но есть обобщенные силы:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=Q_x,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial y}=Q_y\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot z}-\frac{\partial L}{\partial z}=Q_z$$

Как переписать эту систему в координатах $x,y$ при дополнительной идеальной связи

$$z=x^2-xy$$

?

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1673966 писал(а):

на точку наложена идеальная связь:
a) $\dot z=x\dot y$
б) $\dot z=x\dot y+y\dot x$.

В пункте а) связь неинтегрируемая, уравнения движения надо получать из вариационного принципа, либо смотреть в учебник, там они уже получены. В б) связь интегрируемая, можно $\dot z$ подставить в лагранжиан свободной частицы и применять уравнения Эйлера-Лагранжа.

drzewo в сообщении #1673966 писал(а):

Если верно, то что делать с константой $C$, от которой зависит связь, но не лагранжиан?

Ничего. Нужно решить уравнения движения, но начальные координаты должны удовлетворять уравнению связи, иначе, на нужный конус не попадаем.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1674548 писал(а):

В пункте а) связь неинтегрируемая, уравнения движения надо получать из вариационного принципа

Смотря, что Вы называете вариационным принципом.

lel0lel в сообщении #1674548 писал(а):

В б) связь интегрируемая, можно $\dot z$ подставить в лагранжиан свободной частицы и применять уравнения Эйлера-Лагранжа.

Да, но это математика, тут надо на теоремы ссылаться, почему вдруг корректность операции <<подставить уравнение связи в лагранжиан>> связана с интегрируемостью связи

lel0lel в сообщении #1674548 писал(а):

Нужно решить уравнения движения,

Безусловно. Но вопрос был поставлен иначе.

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1674551 писал(а):

что Вы называете вариационным принципом.

Можно пойти по длинному пути, искать экстремум функционала действия с заданными условиями, задача Лагранжа. Либо пойти по простому: принцип Даламбера -- Лагранжа. Либо ещё по более простому: посмотреть как выглядят уравнения Лагранжа первого рода.

drzewo в сообщении #1674551 писал(а):

Да, но это математика, тут надо на теоремы ссылаться

Не знаю какая это теорема, но если связь интегрируемая, то понятно, что лагранжиан можно записывать с множителем Лагранжа. В таком случае, уравнения движения (после исключения множителя) будут такими же, как если бы была выполнена "подстановка" связи в лагранжиан. Аналогично с поиском условного экстремума функции нескольких переменных: можно решать методом неопределённых множителей, а можно сделать "подстановку" условия (если какая-то переменная выражается явно).

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1674585 писал(а):

Можно пойти по длинному пути, искать экстремум функционала действия с заданными условиями, задача Лагранжа. Либо пойти по простому: принцип Даламбера -- Лагранжа.

Эти пути к разным результатам приводят.

lel0lel в сообщении #1674585 писал(а):

Не знаю какая это теорема, но если связь интегрируемая, то понятно, что лагранжиан можно записывать с множителем Лагранжа. В таком случае, уравнения движения (после исключения множителя) будут такими же, как если бы была выполнена "подстановка" связи в лагранжиан.

Ну да. Вот в этом методическом тексте и анализируются связи между всеми этими объектами на современном языке и в соответствие с современными стандартами строгости, принятыми в математике.