Что такое апогей / перигей?

[Red_Herring]

Разные источники сообщают, что апогей это точка орбиты 1. Наиболее удаленная от центра Земли 2. Наиболее удаленная от поверхности Земли 3. Наиболее удаленная от Земли. Расстояние от точки апогея до центра Земли называется апогейным расстоянием, а до поверхности Земли--апогейной высотой. Вариант "3" амбивалентен, а "1" и "2" вообще-то не совпадают в силу отклонения Земли от шара (эксцентриситет ок 1/150). По этой же причине орбита не совсем эллиптическая; особенно это сказывается на НЗО.

Для ИСЗ обычно указывают именно высоты в апогее / перигее. Так что же такое апогей /перигей и апогейная /перигейная высота в точности?

[ShMaxG]

Это наиболее удаленная от центра Земли точка орбиты. Про наибольшую удаленность от поверхности Земли слышу впервые. Апоцентр (и апогей для орбит вокруг Земли) это изначально понятие, связанное с эллиптическими орбитами в задаче двух тел и расстоянием до фокуса (центр Земли лежит в фокусе), и уж точно это не про фигуру Земли. Если орбита околоземная эволюционирует, то апогей, как точка мгновенного (оскулирующего) эллипса с максимальным расстоянием до центра Земли, может двигаться, это нормально. В механике космического полета строго говоря различают "до Земли" и "до центра Земли", а когда не "строго говоря" -- не различают (понятно из контекста или не важно).

Под апогейной/перигейной высотой понимают именно расстояние до поверхности Земли = до подспутниковой точки (соединяем спутник и центр Земли прямой, находим пересечение на поверхности, и вот расстояние до поверхности -- это то, что надо). При расчете высоты обязательно встает вопрос -- какую фигуру Земли принять. Можно брать шар, если тебе не очень важна километровая точность, а может и высокоточный геоид, если это очень важно.

[Red_Herring]

ShMaxG в сообщении #1671544 писал(а):

Можно брать шар, если тебе не очень важна километровая точность, а может и высокоточный геоид, если это очень важно.

Есть, конечно, и промежуточный вариант: эллипсоид вращения. Беда в том, что в публикациях о фигуре Земли ничего не пишут. Просто "высота в апогее/перигее". И строго говоря орбита это возмущенный эллипс.

Гравитационный потенциал эллипсоида $\mathcal{E}$ постоянной плотности 1 вычисляется по формуле

$$V(x,y,z)= -\pi abc\int_\mu^\infty \left( 1-\frac{x^2}{a^2+\lambda} -\frac{y^2}{b^2+\lambda}-\frac{z^2}{c^2+\lambda}\right)\frac{d\lambda}{\Delta}$$

https://physics.stackexchange.com/questions/16412/the-gravitational-potential-of-ellipsoid где $\mu=0$ при $(x,y,z)\in \mathcal{E}$ и с $\mu$ положительным корнем

$$\frac{x^2}{a^2+\mu} +\frac{y^2}{b^2+\mu}+\frac{z^2}{c^2+\mu}=1$$

при $(x,y,z)\notin \mathcal{E}$ и с

$$\Delta=\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}.$$

Тогда при $(x,y,z)\notin \mathcal{E}$,

$$a=b, \qquad c<a, \quad \varepsilon:=\frac{a^2}{c^2}-1 \ll 1$$

$$V(x,y,z)= - M (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}} - \\\\ M\Bigl(\frac{3}{10} c^2(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}}+\frac{1}{5}c^2(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}\Bigr)\varepsilon + O(M\varepsilon^2).$$

Т.е. нет сферической симметрии

[EUgeneUS]

Red_Herring в сообщении #1671553 писал(а):

Т.е. нет сферической симметрии

Это известный факт. Используется в солнечно-синхронных орбитах, где плоскость орбиты прецессирует с нужной, заданной скоростью.

Но стал неясен контекст вопроса.
Если вопрос связан с точным описанием орбит ИЗС, то:

Цитата:

Cranford continued to work on the modelling, eventually leading Lane to publish Spacetrack Report #2 detailing the Air Force General Perturbation theory, or AFGP4. The paper also described two simplified versions of the system, IGP4 which used a simplified drag model, and SGP4 (Simplified General Perturbations) which used IGP4's drag model along with a simplified gravity model.[8] The differences between the three models were slight for most objects. One year later, Spacetrack Report #3 was released, included full FORTRAN source code for the SGP4 model.[9] This quickly became the de facto standard model, both in the industry as well as the astronomy field.
...
The SGP4 model was later extended with corrections for deep space objects, creating SDP4, which used the same TLE input data. Over the years a number of more advanced prediction models have been created, but these have not seen widespread use. This is due to the TLE not containing the additional information needed by some of these formats, which makes it difficult to find the elements needed to take advantages of the improved model. More subtly, the TLE data is massaged in a fashion to improve the results when used with the SGP series models, which may cause the predictions of other models to be less accurate than SGP when used with common TLEs. The only new model to see widespread use is SGP8/SDP8, which were designed to use the same data inputs and are relatively minor corrections to the SGP4 model.

Но это всё весьма слабо связано с высотой спутника над поверхностью Земли (высота в апогее\перигее).

[Red_Herring]

EUgeneUS в сообщении #1671594 писал(а):

Но это всё весьма слабо связано с высотой спутника над поверхностью Земли

В этой модели да: отличие от сферически симметрического (и в частности от поля точечной Земли) будет $\varepsilon r^2R^{-3}$, где $r$ радиус Земли, $R$ радиус орбиты. Но если учитывать влияние атмосферы, то критическим будет именно расстояние до поверхности.

Вопрос очень простой: что в точности понимается под высотой спутника? Разночтения между разными интерпретациями ок 20 км.

[EUgeneUS]

Red_Herring в сообщении #1671612 писал(а):

Вопрос очень простой: что в точности понимается под высотой спутника?

ИМХО, точного ответа на этот вопрос не существует.

Red_Herring в сообщении #1671612 писал(а):

Разночтения между разными интерпретациями ок 20 км.

Если нужна бОльшая точность - источник данных с высотами спутников должен указывать, что под ними понимается, и как они считаются.
Например, для сантиметровой точности недостаточно указать тип референсной поверхности (например, референц-эллипсоид). А должен указываться конкретный её вариант (референц-эллипсоид WGS-84).

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1671530 писал(а):

Для ИСЗ обычно указывают именно высоты в апогее / перигее. Так что же такое апогей /перигей и апогейная /перигейная высота в точности?

Вам какая точность нужна? 20 км по высоте это лучше чем 10% для большинства спутников. Чтобы прикинуть в уме положение спутника более чем достаточно. А "в точности" там должен быть вообще не эллипс, так как есть возмущения и от гравитационных аномалий, и от Луны, и орбита постоянно снижается. Про спутники GPS пишут, что известные параметры их орбит дают погрешность 2.5 м по высоте.

Можно порыться по сайту НАСА с таблицами параметров орбит спутников на предмет используемых ими определений.

[SergeyGubanov]

На поверхности Земли на экваторе эффект Саньяка даёт разрыв во времени 413 наносекунд на один оборот Земли

$$\Delta t \approx 4 \pi R^2 \omega / c^2,$$

что даст ошибку в геолокации на 124 метра в сутки если не предпринимать дополнительные усилия по её устранению.

Это я к тому, что если вдруг вам нужно знать координаты спутника с метровой/наносекундной точностью, то классическая Ньютоновская теория гравитационного потенциала для этого не подходит.

Очень точно вычисленный ньютоновский гравитационный потенциал (с учётом всех неровностей/неоднородностей Земли) метровую/наносекундную точность никогда не даст по причине выхода за пределы области применимости понятия "потенциал". Гравитационное поле Керра (Лензе-Тирринга) не потенциально.

[Red_Herring]

Мне не нужно знать координаты спутника с большой точностью. Просто когда спутник близко к Земле 20 км по высоте это может быть разницей между "он упадет сейчас" и "он упадет через пару дней". Но вообще-то поскольку атмосфера "дышит" то разница может быть "удастся с помощью ионных двигателей поднять" и "капец", в чем у SpaceX есть опыт.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1672167 писал(а):

Просто когда спутник близко к Земле 20 км по высоте это может быть разницей между "он упадет сейчас" и "он упадет через пару дней".

Ну да. И всё сильно зависит от солнечной активности.
Ну и какая для сторонних наблюдателей разница?

Red_Herring в сообщении #1672167 писал(а):

Но вообще-то поскольку атмосфера "дышит" то разница может быть "удастся с помощью ионных двигателей поднять" и "капец", в чем у SpaceX есть опыт.

Ну да, но у тех свалившихся обратно во время геомагнитного шторма свежевыведенных спутников высота орбиты была 210 км, и 20 км всё равно малая погрешность. На низкую орбиту с достаточно большим сопротивлением атмосферы их сначала выводят специально, чтобы неисправные быстро свалились обратно.