Многообразия, смысл понятия

[Diom]

Поясните пожалуйста смысл в понятии многообразие. Определение я вроде бы знаю, но вот смысл понятия что-то ускользает. Например сфера это многообразие, т.е. для каждая части сферы может быть найдено взаимно однозначное соответствие с некоторой областью евклидова пространства, так называемой координатной картой (кстати почему именно евклидова, а не просто линейного? ) . Но так же говорят что сферу нельзя представить одной картой, а разве мощности множеств (поверхности сферы и например плоскости) не совпадают??? В чем смысл использовать несколько карт, почему бы не ограничиться одной? А смысл использования пересекающихся карт от меня что то вообще ускользает, а вместе с ним и всевозможные отображения склейки.

Извиняюсь за такое количество вопросов, просто сложно сориентироваться и сформулировать более точно что не ясно.

[Brukvalub]

Diom в сообщении #167086 писал(а):

Но так же говорят что сферу нельзя представить одной картой, а разве мощности множеств (поверхности сферы и например плоскости) не совпадают???

Не всякие два топологические пространства одинаковой мощности гомеоморфны, поэтому Ваш аргумент о мощностях несущественен.

Diom в сообщении #167086 писал(а):

В чем смысл использовать несколько карт, почему бы не ограничиться одной?

Именно в том и смысл, что локально многообразие "похоже" на n-мерное пространство, а глобально - нет.

Diom в сообщении #167086 писал(а):

А смысл использования пересекающихся карт от меня что то вообще ускользает

Чтобы понятие многообразия не потеряло смысла и с ним можно было работать, необходимо оговорить, что происходит с теми участками, которые накрыты сразу несколькими картами. Если этого не оговорить, то на многообразии будет нельзя осуществлять операции с множествами его точек, выходящими за границы одной карты (например, интегрировать функции по кривым, лежащим на многообразии, и т.п.). Чтобы обеспечить возможность выполнения такого рода операций, нужно оговорить способ перехода от одной карты к другой карте. Вот для этого и нужна та или иная гладкость отображений перехода от карты к карте.

[Таня Тайс]

Попробую ответить...

Diom в сообщении #167086 писал(а):

смысл понятия что-то ускользает

Смысл в том, что в окрестности каждой точки многообразие устроено как $\mathbb{R} ^k$. Например, сфера устроена как плоскость $\mathbb{R} ^2$ - легко это понять, если думать о планете Земля и всевозможных картах - они-то на плоскости, на плоском листе бумаги. (Вы, кстати, какое многообразие имеете в виду - подмногообразие в $\mathbb{R} ^n$ или абстрактное (топологическое) многообразие?). Вы наверняка знаете, что всю сферу целиком нельзя гомеоморфно отобразить на плоскость, одна точка лишняя (например, см. стереографическая проекция), а вот "по частям" можно.
Это к тому,что

Diom в сообщении #167086 писал(а):

В чем смысл использовать несколько карт, почему бы не ограничиться одной?

Если взять за определение подмногообразия:"k-мерное многообразие в $\mathbb{R} ^n$ это такое множество, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R} ^k$ ", то возникают патологические примеры, которые хотелось бы из рассмотрения исключить (см. рогатая сфера Александера), поэтому определение немножко усложняют.

Мне непонятно, что Вы здесь имеете в виду:

Diom в сообщении #167086 писал(а):

мощности множеств (поверхности сферы и например плоскости) не совпадают???

Вероятно, то, что существует биекция между ними. Но эта биекция не обязана быть непрерывной.

Очень хорошо написано у Зорича "Анализ", том 1,2, или Фоменко...

[Diom]

Цитата:

Не всякие два топологические пространства одинаковой мощности гомеоморфны, поэтому Ваш аргумент о мощностях несущественен.

Вот в чем дело... в тех определениях которые мне попались о гомеоморфности не говорилось - только о взаимной однозначности...

Цитата:

Чтобы обеспечить возможность выполнения такого рода операций, нужно оговорить способ перехода от одной карты к другой карте. Вот для этого и нужна та или иная гладкость отображений перехода от карты к карте.

Как тогда поступить если карты не имеют общих точек? Ведь такое в принципе тоже возможно? По крайней мере определение вроде бы этого не требует.

Цитата:

Вы наверняка знаете, что всю сферу целиком нельзя гомеоморфно отобразить на плоскость, одна точка лишняя

Слышал и не раз. Кстати, а есть доказательство этого утверждения?

Кстати зачем требуют еще отделимость Хаусдорфа, разве гомеоморфность Евклидову пространству не добавляет это требование автоматически?

[Таня Тайс]

Diom в сообщении #167140 писал(а):

Цитата:
Вы наверняка знаете, что всю сферу целиком нельзя гомеоморфно отобразить на плоскость, одна точка лишняя

Слышал и не раз. Кстати, а есть доказательство этого утверждения?

Сфера компактна, а $\mathbb{R} ^2$ нет, значит, они не могут быть гомеоморфны!

Добавлено спустя 1 минуту 36 секунд:

Diom в сообщении #167140 писал(а):

Как тогда поступить если карты не имеют общих точек? Ведь такое в принципе тоже возможно? По крайней мере определение вроде бы этого не требует.

Конечно, это необязательно. Никак не поступить. А какое у Вас определение? Жутко интересно.

[Diom]

Их уже несколько

Про отделимость Хаусдорфа это отсюда (только что попалось):
Топологическое многообразие (без границы) — это Хаусдорфово топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству n-мерного Евклидова пространства.

А изначальное было таким (впрочем здесь про отделимость тоже упоминается):

[Таня Тайс]

Определение, которое нам дал препод.на лекции, было запутаннее некуда. Чего там только не было упомянуто!

Топологическое многообразие - это следующий шаг, обобщение, так сказать. Лучше начинать (по-моему лучше) с подмногообразий $\mathbb{R}^n$, или k-мерных поверхностей. Я Вам попозже ещё одно определение выпишу, если интерес не пропадёт. Это по сути одно и тоже.

[Diom]

Спасибо. буду разбираться дальше

[Таня Тайс]

Ваше определение практически повторяет опред. в книге Дубровин, Новиков, Фоменко Современная геометрия, том 2. Только там (и у нас на лекции) это называется гладким (или дифференцируемым) k-мерным многообразием. (Про негладкие многообразия я ничего не знаю ).

Пункт а) понятен, пункт b) тоже - ведь если пересечение карт непусто, то в нем уже действуют две системы локальных координат. Мы должны иметь возможность переходить от одной к другой. Класс гладкости функций перехода называется классом гладкости самого многообразия. Пункт с) в этой книге отсутствует совсем. Давайте подумаем вместе, нужен ли он тут.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

...если $M \subset \mathbb{R}^n$, то не нужен

[Diom]

Хм... а если таковой принадлежности нет? Разве из гомеоморфности это не будет следовать? Хотя в определении про гомеоморфность ничего не говорится... Но честно говоря есть сомнения что из пункта "c" она появится....

[Someone]

Таня Тайс в сообщении #167199 писал(а):

Пункт с) в этой книге отсутствует совсем. Давайте подумаем вместе, нужен ли он тут.

Пункт с) - это и есть хаусдорфовость. Цитата содержит недостаточно информации, но у меня есть подозрение, что топология многообразия как раз определяется отображениями $\chi_{\alpha}$ (наименьшая топология, в которой все эти отображения непрерывны). Тогда они все будут гомеоморфизмами.

Diom в сообщении #167202 писал(а):

Но честно говоря есть сомнения что из пункта "c" она появится....

Нет, она (гомеоморфность) не из пункта с) появляется, их пункта с) появляется хаусдорфовость. А гомеоморфность появляется из отсутствующего в цитате предположения, что топология на $M$ индуцирована отображениями $\chi_{\alpha}$ (в указанном выше смысле).

Diom, это в какой книге такое определение многообразия?

[Таня Тайс]

Если меня на экзамене спросят, что такое подмногообразие $\mathbb{R}^n$, я скажу так, как написано у Зорича:

Гладкое k-мерное подмногообразие в $\mathbb{R}^n$ это такое множество точек $M \subset \mathbb{R}^n$, что для каждой точки $m \in M $ найдется её окрестность $U(m)$ и диффеоморфизм $\psi \colon U(m) \to I^n =\{t \in \mathbb{R}^n : \; |t_{i} |< 1\}$, такой что $ \psi (M \cap U(m)) = I^k$.

По-моему, это самое хорошее определение подмногообразия, помогающее понять смысл.
Ясно, что вместо $I^k$ можно взять весь $\mathbb{R}^k$ или любое его открытое подмножество, т. к. они гомеоморфны.

Диффеоморфизм в этом определении - это карта (ну или $Im(\psi)$ карта ). Гладкость функций перехода получаем как следствие.

Добавлено спустя 24 минуты 5 секунд:

Могу привести для сравнения определение с лекции ( начало совпадает):

Гладкое k-мерное подмногообразие $M \subset \mathbb{R}^n $, если $ \forall m \in M \; \exists \; U(m) \subset \mathbb{R}^n $ и...
( здесь идёт небольшое отличие : мы движемся не с многообразия на $\mathbb{R}^k$ , а наоборот)
...$ \exists \; W\subset \mathbb{R}^k$ открытое подмножество (здесь можно взять опять- таки весь $\mathbb{R}^k$ или $I^k$, т.к. они гомеоморфны)
$\exists \; \varphi \colon W \to \mathbb{R}^n $ регулярное отображение, такое что
$Im(\varphi) \subset M$ и $\varphi(W')=M \cap U'$.

Что такое $W'$ и $U'$ я думаю, понятно: $U' \subset U$ окрестность точки $m$ в $\mathbb{R}^n$, $W' \subset W $ окрестность точки $ \varphi ^{-1}(m)$ в $W$...
В этом определении $ \varphi = \psi ^{-1}$ это локальная параметризация, т.е. мы можем записать наше многообразие в виде уравнений, указав область определения.

Ну а хаусдорфовость, как я понимаю, важна, если мы не в $\mathbb{R}^n$, но Вы ведь хотели понять смысл...

[AD]

Diom писал(а):

Кстати зачем требуют еще отделимость Хаусдорфа, разве гомеоморфность Евклидову пространству не добавляет это требование автоматически?

Так, на этот вопрос, кажется, еще не ответили, да? Давайте отвечу.

Есть, скажем, такая штука, называется "прямая Александрова" вроде бы. Это обычная прямая, только у неё точка ноль "раздвоенная" на $0_1$ и $0_2$. Или, еще лучше, это пара прямых, у которых склеены все точки, кроме нулевых. Факторпространство то бишь.

Так вот, на прямой Александрова можно ввести две карты: $(-\infty,0)\cup\{0_1\}\cup(0,\infty)$ и $(-\infty,0)\cup\{0_2\}\cup(0,\infty)$. Каждая из них гомеоморфна $\mathbb{R}$, все требования выполнены. Тем не менее, пространство, очевидно, не хаусдорфово.

[Diom]

Цитата:

Diom, это в какой книге такое определение многообразия?

В книге некого Олвера "Приложение групп Ли к дифф. ур."

Цитата:

но у меня есть подозрение, что топология многообразия как раз определяется отображениями (наименьшая топология, в которой все эти отображения непрерывны). Тогда они все будут гомеоморфизмами.

Да... после определения делается такое утверждение... я на него сразу внимания не обратил - прочитал только интересующее меня определение

Цитата:

я скажу так, как написано у Зорича:

Что-то я не очень понял необходимость этого:
$\psi \colon U(m) \to I^n =\{t \in \mathbb{R}^n : \; |t_{i} |< 1\}$

Цитата:

Или, еще лучше, это пара прямых, у которых склеены все точки, кроме нулевых.

Принцип примерно понял, хотя с несклееными нулевыми точками не очень... чем эти точки тогда вообще отличаются?

[Someone]

Diom в сообщении #167391 писал(а):

Принцип примерно понял, хотя с несклееными нулевыми точками не очень... чем эти точки тогда вообще отличаются?

Ничем. Просто их две.