Квадратичные Формы.

[Вольтер]

Последняя глава учебника по Линейной Алгебре и к сожалению единственная глава не понятная мне вовсе. Не понятно мне то, как из Квадратичной Формы получается матрица... Все, что в моем учебнике написано это то, что коэффициенты aij образуют эту самую матрицу. Но как, не понятно. Изложите пожалуйста своими словами!

[ewert]

Например: квадратичная форма

$x_1^2+2\,x_2^2+3\,x_3^2+10\,x_1x_2+12\,x_1x_3+14\,x_2x_3$

может быть записана в виде скалярного произведения $(A\vec x,\vec x)=\sum_{\forall i,k}\,a_{ik}\,x_k\,x_i$, где $\vec x$ -- это соответствующий столбец и $A$ -- это симметричная матрица

$A=\begin{pmatrix}1&5&6\\5&2&7\\6&7&3\end{pmatrix}$

[Вольтер]

ewert писал(а):

Например: квадратичная форма

$x_1^2+2\,x_2^2+3\,x_3^2+10\,x_1x_2+12\,x_1x_3+14\,x_2x_3$

может быть записана в виде скалярного произведения $(A\vec x,\vec x)=\sum_{\forall i,k}\,a_{ik}\,x_k\,x_i$, где $\vec x$ -- это соответствующий столбец и $A$ -- это симметричная матрица

$A=\begin{pmatrix}1&5&6\\5&2&7\\6&7&3\end{pmatrix}$

Спасибо за обьяснение, кажется я понял.

А, что если квадратичная форма вида:

$$ 2x^2 - 2xy + y^2 - 2yz + 2z^2 $$

?


##А вот к примеру из характеристического уравнения получаю -

$$ (\eta - 8)^2 (\eta + 8) $$

то канонический вид будет -

$$ 8\alpha _1 ^2 - 8\alpha _2 ^2 - 8\alpha _3 ^2 $$

?

[Everest]

если квадратичная форма вида: $2x^{2}-2xy+y^{2}-2yz+2z^{2}$, то
$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$

Смотри понятнее станет, если скажу на простом языке. Идем по строкам матрицы:
$2$ - коэффициент перед $x^2$
$-1$ - коэффициент перед $xy$
$0$ - коэффициент перед $yz$
$-1$ - коэффициент перед $xy$
$1$ - коэффициент перед $y^2$
$-1$ - коэффициент перед $yz$
и так далее.


Про дальнейшее достаточно хорошо объяснено вот здесь:
http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course1 ... 10_2z1.htm
Посмотри и пример там есть.

[Вольтер]

Everest писал(а):

если квадратичная форма вида: $2x^{2}-2xy+y^{2}-2yz+2z^{2}$, то
$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$

Смотри понятнее станет, если скажу на простом языке. Идем по строкам матрицы:
$2$ - коэффициент перед $x^2$
$-1$ - коэффициент перед $xy$
$0$ - коэффициент перед $yz$
$-1$ - коэффициент перед $xy$
$1$ - коэффициент перед $y^2$
$-1$ - коэффициент перед $yz$
и так далее.

Про дальнейшее достаточно хорошо объяснено вот здесь:
http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course1 ... 10_2z1.htm
Посмотри и пример там есть.

А разве не так должно быть? -

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & { - 2} & 0 \\ { - 2} & 1 & { - 2} \\ 0 & { - 2} & 0 \\ \end{array} } \right) \]

[AD]

Коэффициенты при $xy$ итп делятся пополам, потому что $2xy=xy+yx$. Вообще говоря, можно составлять матрицу разными способами (скажем, еще можно в клеточке, где $xy$ - поставить нолик, а где $yx$ - минусдвойку), но симметричная матрица получается только одним способом, и этот способ как раз и объявляется правильным.

[Trotil]

Нет, ибо в матрицу мы вписываем коэффициенты вот отсюда:

$(2x^{2}-xy+0xz)+(-yx+y^{2}-yz)+(0zx-zy+2z^{2})$

[ewert]

Вольтер писал(а):

##А вот к примеру из характеристического уравнения получаю -

$$ (\eta - 8)^2 (\eta + 8) $$

то канонический вид будет -

$$ 8\alpha _1 ^2 - 8\alpha _2 ^2 - 8\alpha _3 ^2 $$

?

верно с точностью до наоборот: два квадрата пойдут с плюс восьмёрками и один -- с минус восьмёркой.

[Вольтер]

Кажется все понятно Спасибо за ответы!