Разные функциональные пространства и нормы на них

[skobar]

drzewo в сообщении #1670014 писал(а):

метризуемости не будет, но по другой причине:)

Я и не говорю, что по этой причине. Но тем не менее несчетность числа полунорм и неметризуемость согласуются друг с другом.

-- 14.01.2025, 21:38 --

drzewo в сообщении #1670014 писал(а):

Лорану Шварцу скорее

Полистал двухтомник Шварца "анализ", там в конце второго тома что-то есть про введение топологии полунормами, но подход опять же основан на рассмотрении $\mathcal D_{K} (\mathbb{R})$. В явном виде полунорм на всем $\mathcal D (\mathbb{R})$ не нашел.

[drzewo]

skobar в сообщении #1670019 писал(а):

Полистал двухтомник Шварца "анализ", там в конце второго тома что-то есть про введение топологии полунормами, но подход опять же основан на рассмотрении $\mathcal D_{K} (\mathbb{R})$. В явном виде полунорм на всем $\mathcal D (\mathbb{R})$ не нашел.

drzewo в сообщении #1670014 писал(а):

У Эдвардса выписываются полунормы со ссылкой на Шварца.

Эдвардс не на двухтомник ссылается. На что-то другое, сейчас не помню уже.

[Red_Herring]

Интересный нюанс: сопряженное к индуктивному пределу последовательности пространств равно проективному пределу сопряженных, а вот сопряженное к проективному пределу последовательности пространств необязательно равно индуктивному пределу сопряженных (может быть больше). Например, $(C_0^\infty (\mathbb{R}))' \supsetneq \bigcup_n (C_0^n (\mathbb{R}))'$. Смотри $\sum_n \delta^{(n)}(x-n)$.

[mihaild]

drzewo в сообщении #1670014 писал(а):

в том смысле, что сперва надо доказать, что нельзя эквивалентным образом задать топологию счетным числом полунорм

Нужно же не просто счетным, а конечным. Чего тут не получится, потому что для любого конечного подсемейства легко строится новая, строго мажорирующая их все.

[skobar]

mihaild в сообщении #1670388 писал(а):

Нужно же не просто счетным, а конечным

Речь идет о метризуемости, а не о нормированности.

[mihaild]

skobar в сообщении #1670389 писал(а):

Речь идет о метризуемости, а не о нормированности

А, пардон, я читать не умею.