Теорема Вейерштрасса об апроксимации непрерывной функции пол

[AntonioVivaldi]

Рассмотрим пространство $C[a, b]$ с нормой $\|f\|_{\infty}=\max _{[a, b]}|f|$.
Теорема 1. Для всякой непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции $f$ существует последовательность полиномов $\left(p_n(x) \in \mathbb{R}[x], n \in \mathbb{N}\right)$ такая, что $\left\|f-p_n\right\| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$ на $[a, b]$.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать что $f(a)=f(b)=0$, так как в противном случае с помощью линейной замены $\widetilde{f}(x)=f(x)+c x+d$ можно добиться, чтобы $f(a)+a c+d=f(b)+b c+d=0$, и из предположения, что $\left(\widetilde{p}_n(x) \in \mathbb{R}[x], n \in \mathbb{N}\right)$ - последовательность полиномов для $\widetilde{f}$, будет следовать, что ( $\widetilde{p}_n(x)-c x-d \in \mathbb{R}[x], n \in \mathbb{N}$ ) - последовательность полиномов для $f$. Также можно считать, что $f$ равна 0 на $\mathbb{R} \backslash[a, b]$.

Пусть $l=b-a$. Рассмотрим функцию $q(t)=\max \left\{l^2-t^2, 0\right\}$.
Положим $c_n=\int_{-\infty}^{+\infty} q^n(t) \mathrm{d} t, A_n(\delta)=\int_{|t| \geqslant \delta} q^n(t) \mathrm{d} t$ и $Q_n(t)=\frac{q^n(t)}{c_n}$.


Не понимаю, почему такая линейная замена зануляет значение функции на концах

Помогите,пожалуйста, разобраться

[dgwuqtj]

Утверждение: для любых двух чисел $f(a)$, $f(b)$ существуют такие числа $c$ и $d$, что $f(a) + a c + d = f(b) + b c + d = 0$. Доказывайте!

[drzewo]

У Зорича это по-моему симпатичней сделано. Другая $\delta-$ образная последовательность взята

[AntonioVivaldi]

drzewo


Да
Спасибо