Несогласование в физике идеальных газов

[Asilbek]

Здравствуйте. Никак не смог найти ответ на мой вопрос:
Согласно молекулярно-кинетической теории (МКТ), давление газа на стенки сосуда, в котором он находится, определяется формулой $p=(1/3)mnv^2$, где n - концентрация газа. Также, из этой формулы происходить формула кинетической энергии одной молекулы $E=(3/2)kT$. Однако, согласно уравнению состояния идеального газа, полная внутренняя энергия идеального газа $U=(i/2)nRT$, где i - количество степеней свободы молекулы, n - количество вещества в молях.От этой же формулы происходит та же вищезаписанная формула кинетической энергии молекулы, но немного другая: $E=(i/2)kT$. Как видно, разница только в том, что цифра 3 поменялась на i. И это можно понять: для одноатомных молекул i=3, двуатомных i=5, а трёхатомным и более i=6. Получается, что вышезаписанная формула МКТ подходит только для одноатомных газов. И чтобы ошибок не появлялось, для многоатомных молекул формула должна выглядеть как $p=(1/i)mnv^2$ (снова же 3 меняется на i). Согласно полученной формуле, для воздуха, которая приблизительно полностью состоит из двуатомных молекул, в формуле вместо i должно писаться 5. Но в этом вся проблема - я не только не смог найти эту формулу в учебниках или открытом интернете, но и задачи, которых я видел по этой теме решались просто через самую первую формулу с 3 вместо i. И я просто не смог найти объяснений на это, поэтому хотел бы попросить объяснить если кто понимает в чём подвох.

[Inquirer]

Добрый вечер!
Подвоха нет, поскольку тройка в формуле $\mathrm p = \frac{1}{3}mnv^2$ - это не совсем то, что понимается под степенями свободы в формулах для расчёта энергии. При выводе формулы для давления идеального газа тройка возникает из-за того, что молекула идеального газа может двигаться в трёх направлениях, вращательных степеней свободы у неё нет. Но они и не нужны при подсчёте числа ударов о стенку сосуда (вывод формулы что в школе, что в курсе общей физики вуза проводится через рассмотрение небольшого цилиндра вблизи стенки сосуда). При обобщении формулы на неодноатомные газы она меняться не будет, но работать будет не очень хорошо, особенно в случае больших давлений и низких температур, когда газ нельзя считать идеальным. В этом случае можно пользоваться эмпирическими уравнениями Ван-дер-Ваальса или другими моделями.
В целом, с тройкой ничего не произойдёт, даже если газ двухатомный, но считается в рамках задачи идеальным.

[Geen]

Asilbek в сообщении #1669161 писал(а):

Также, из этой формулы происходить формула кинетической энергии одной молекулы $E=(3/2)kT$.

Как именно она происходить?

Asilbek в сообщении #1669161 писал(а):

От этой же формулы происходит та же вищезаписанная формула кинетической энергии молекулы

Аналогичная вопрос.

[peregoudov]

Ваша "несогласованность" разрешается наблюдением, что давление газа зависит только от поступательного движения молекул, тогда как внутренняя энергия --- еще и от вращательного. Уравнение состояния любого идеального газа имеет вид $pV=NkT$, а вот внутренняя энергия является произвольной функцией температуры. В классической теории, когда молекула представляется либо материальной точкой, либо твердым телом, получается $U=(i/2)NkT$.

[Asilbek]

Inquirer в сообщении #1669165 писал(а):

В целом, с тройкой ничего не произойдёт, даже если газ двухатомный, но считается в рамках задачи идеальным.

Аа, вроде понял, спасибо! Кстати, а какую из формул для кинетической энергии молекулы мне лучше использовать в задачах? С 3 в МКТ и i в термодинамике как бы?

Geen в сообщении #1669166 писал(а):

Как именно она происходить?

Насчёт первого:
$p = (1/3)nmv^2 = (1/3)nmv^2 \cdot (2/2) = (2/3)n(mv^2/2) = (2/3)nE = (2/3)(N/V)E$ - тут E - это кинетическая энергия одной молекулы. Переводим N и V в левую часть уравнения: $pV/N=2/3E$. В своём эксперименте Болсман, изучая зависимость температуры от этой формулы, добавил свою постоянную - постоянную Болсмана - k, и нашёл что: $pV/N=kT$, а от этого происходит формула $p=nkT$, но сейчас не об этом. Так как $pV/N=2/3E$, получается, что $2/3E=kT$, а от этого: $E=3/2kT$. Как видно, 3 в формуле напрямую происходит от 3 из основной формулы МКТ.

Для второй формулы:
$U=i/2nRT$ - тут n является количеством вещества. $R = k \cdot N$' - тут k постоянная Болсмана, N' - число Авогадро. Также есть формула $n=N/N'$. Получается: $U=(i/2)(N/N')(N' \cdot k)T=i/2NkT$. Переводим N в левую сторону, а так как для идеального газа внутренняю энергия равна сумме кинетической энергии всех молекул, получается, что $U/N=E$, где E - кинетическая энергия одной молекулы. От этого: $U/N=i/2kT=E \Rightarrow E=i/2kT $

peregoudov в сообщении #1669416 писал(а):

В классической теории, когда молекула представляется либо материальной точкой, либо твердым телом, получается $U=(i/2)NkT$.

Как бы понял, спасибо! Но будет ли тогда верным использование формулу E=3/2kT в задачах по МКТ? Там вроде только этим и пользуются.

[Inquirer]

Вы таки посмотрите построже на определения величин с которыми работаете. $\mathrm{E}=\mathrm{\frac{3}{2}kT}$ - это формула для кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. Естественно, что в ней учтены только поступательные степени свободы, их у молекулы идеального газа три.
Если Вы хотите посчитать внутреннюю энергию некоторого количества идеального газа, Вам потребуется учитывать не только поступательные, но и вращательные, и колебательные степени свободы. Существует теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы. Из неё следует, что на каждую степень свободы многоатомной молекулы приходится порция энергии, равная $\frac{kT}{2}$. Соответственно, при переходе от рассмотрения одной молекулы к рассмотрению одного моля постоянная Больцмана переходит в универсальную газовую постоянную, но в числителе по-прежнему остаётся число степеней свободы для одной молекулы.
Никакого противоречия здесь нет, нужно просто правильно понимать, про какое понятие идёт речь. Это похоже на ситуацию с катящимся по горизонтальной поверхности цилиндром. У него можно легко посчитать кинетическую энергию поступательного движения. Но за счёт своего вращения цилиндр обладает также и кинетической энергией вращательного движения. А можно и полную кинетическую энергию в данной системе отсчёта посчитать. И формулы будут разные.
Какой формулой для энергии пользоваться обычно очевидно из условия задачи.

[Asilbek]

Inquirer в сообщении #1669710 писал(а):

Какой формулой для энергии пользоваться обычно очевидно из условия задачи.

Ну вот теперь уже понял на все сто. Спасибо!