Плотность движущегося тела

[Ilya_T]

Здравствуйте. При решении задачи по релятивистской механике возник вопрос об определении плотности тела. Если в системе покоя плотность тела известна, какая плотность тела будет в системе отсчета, движущейся относительно нее со скоростью $\upsilon$.

Мое решение:
Релятивистская масса: m = $\gamma m_0$.
Релятивистское сокращение длины приводит к сокращению объема: V = $V_0 / \gamma$.
Плотность тела: $\rho = \frac{m}{V} = \rho _0 \gamma ^2$.
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{\upsilon}{c}) ^2}}$

В интернете нашел четыре варианта определения плотности движущегося тела и соответствующие ответы:

1. $\rho = \frac{m}{V} = \rho _0 \gamma ^2$;
2. $\rho = \frac{m_0}{V} = \rho _0 \gamma$;
3. $\rho = \frac{m}{V_0} = \rho _0 \gamma$;
4. $\rho = \frac{m_0}{V_0} = \rho _0$.

Подскажите, какой вариант правильный, и на какой источник можно сослаться при определении плотности движущегося тела.

[sergey zhukov]

Ilya_T
Ну вот, например, в решении парадокса субмарины в вики сказано:
"Плотность жидкости из-за ее релятивистского сокращения возрастет, что увеличит силу Архимеда в $\gamma$" раз. Отсюда можно заключить, что плотность движущегося тела увеличивается в $\gamma$ раз.

В современном понимании СТО масса тела - это инвариант. От скорости или чего-то другого она не зависит. Во всех системах отсчета масса тела одинакова. А объем движущегося тела сокращается в $\gamma$ раз.

Здесь, конечно, нужно разобраться, для чего планируется использовать такую плотность. Если, скажем, для вычисления скорости "утонутия" такой вот лодки, то это вовсе не означает, что лодка будет погружаться с той же скоростью, что и "нерелятивистская" лодка этой плотности. Релятивистская будет погружаться значительно медленее, но не потому, что ее плотность или масса неправильно посчитана, а потому, что ее импульс считается иначе (ее импульс при заданной скорости $u$ гораздо больше, чем $mu$ и равен $\gamma mu$, т.е. дело не в увеличивающейся от скорости массе, а в другой зависимости импульса от скорости).

[Ilya_T]

Да, я нашел информацию. Сейчас понятие массы, зависящей от скорости, не используется. Теперь понятно, в чем моя ошибка.

Спасибо, пояснили.

[realeugene]

Пресловутая "релятивистская масса" легко превращается в обычную, когда два таких кирпича летят навстречу друг другу. На мой взгляд, задача ужасна.

sergey zhukov в сообщении #1667419 писал(а):

Здесь, конечно, нужно разобраться, для чего планируется использовать такую плотность.

Даны четыре варианта ответа - это тест какой-то. Нужно угадать мысли учителя.

[Ilya_T]

Это не тест. Нахождение плотности движущегося тела встречается в типовых задачах на релятивистскую механику. Например, задача 1.369 из сборника Иродова:
Плотность покоящегося тела равна $\rho _0$. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на η = 25% больше $\rho _0$.

-- 28.12.2024, 09:39 --


А это ее неправильное решение, с правильным ответом.

[amon]

Ilya_T в сообщении #1667416 писал(а):

Подскажите, какой вариант правильный, и на какой источник можно сослаться при определении плотности движущегося тела.

Величина $(c\rho,\mathbf{j})$ образует 4-вектор ($\mathbf{j}=\mathbf{v}\rho$). Поэтому плотность преобразуется как нулевая компонента 4-вектора. Прочитать про это можно во втором томе Ландау, параграф 28, "Четырехмерный вектор тока". Там про заряды, но если слово "заряд" заменить на "масса", то ничего не поменяется.

[Ilya_T]

amon в сообщении #1667450 писал(а):

Величина $(c\rho,\mathbf{j})$ образует 4-вектор ($\mathbf{j}=\mathbf{v}\rho$). Поэтому плотность преобразуется как нулевая компонента 4-вектора. Прочитать про это можно во втором томе Ландау, параграф 28, "Четырехмерный вектор тока". Там про заряды, но если слово "заряд" заменить на "масса", то ничего не поменяется.

Спасибо. Понятно. Масса - скаляр, а значит плотность является компонентой 4-вектора и из этого сразу следует формула для ее преобразования при переходе в другую ИСО. У меня скорее был вопрос о том, почему массу считают инвариантом. Ответ нашелся - это статья академика Л.Б. Окуня:
https://ufn.ru/ufn89/ufn89_7/Russian/r897f.pdf?ysclid=lfu4gvl3sw649679864

[amon]

Ilya_T в сообщении #1667566 писал(а):

У меня скорее был вопрос о том, почему массу считают инвариантом.

Масса - квадрат 4-вектора энергии-импульса.

[realeugene]

amon в сообщении #1667450 писал(а):

Там про заряды, но если слово "заряд" заменить на "масса", то ничего не поменяется.

Да? А тензор энергии-импульса не вылезет случайно?

[amon]

realeugene в сообщении #1667768 писал(а):

Да? А тензор энергии-импульса не вылезет случайно?

Нет. От заряда (массы) требуется только, чтобы он(а) был(а) скаляром.

[realeugene]

amon в сообщении #1667783 писал(а):

Нет. От заряда (массы) требуется только, чтобы он(а) был(а) скаляром.

Там в любрм случае плотность, а не скаляр. А если ещё есть напряжения общего вида в материале, типа натянутого болта, то тогда без полного ТЭИ не обойтись. Ясно, что без напряжений ТЭИ - тензор первого ранга. Полная масса хоть сохраняется?

[amon]

realeugene в сообщении #1667793 писал(а):

Полная масса хоть сохраняется?

А с чего ей не сохраняться? Не аддитивна, но сохраняется.

[realeugene]

amon в сообщении #1667794 писал(а):

А с чего ей не сохраняться? Не аддитивна, но сохраняется.

В решении Шварцшильда есть дефект массы.