Что такое дискретная математика?

[Mihr]

drzewo, ОК, понятно.

[Sender]

(drzewo)

drzewo в сообщении #1666705 писал(а):

не, я разделять ничего не предлагаю, я просто констатирую очень глубокую разность методов и разность стилей мышления людей, которые в этих разделах работают. Мало кому удавалось получать результаты и там и там.

А топология, на ваш взгляд, относится к дискретному мышлению или к непрерывному? Я слышал, немало "дискретчиков" подалось в топологи.

[Евгений Машеров]

Mihr в сообщении #1666701 писал(а):

В таком случае разные части такого курса должны быть практически независимы друг от друга.

Зачем (затыкая рот внутреннему Андрею Вознесенскому)?
Они собраны под конкретные потребности последующих учебных курсов. Зависимость их друг от друга ни на что не влияет и ничему не мешает.
Кстати, "сильно дискретная" комбинаторика использует переход к непрерывным величинам, употребляя производящие функции. Нет необходимости "оформлять развод дискретной и непрерывной математики", достаточно, если каждый занимается своим делом, заходя в гости к соседу при необходимости.

[Mihr]

Евгений Машеров, извините, я Вас не понимаю.
Возвращаю Ваше "Зачем?"
Вот именно, зачем тогда называть "сборной солянкой" курс, части которого вполне увязаны между собой и дополняют друг друга?

Евгений Машеров в сообщении #1666723 писал(а):

Они собраны под конкретные потребности последующих учебных курсов.

Я ведь привёл несколько примеров их использования в рамках самой дискретной математики. Пока ещё не последующих курсов. О последующих курсах я вообще ни слова не говорил.
У Вас есть возражения по поводу моих примеров? В них что-то не так?

[Евгений Машеров]

Ещё раз.
Математика вся взаимозависима. Это не основание считать механическое собрание фрагментов, собранных под конкретную задачу, особой частью математики, хотя какое-то взаимодействие есть. Предмет под названием "Дискретная математика", читаемый в ВУЗах, собран под частные потребности и назван так достаточно случайно.

[Mihr]

Евгений Машеров в сообщении #1666740 писал(а):

механическое собрание фрагментов, собранных под конкретную задачу

Я до сих пор ни про какую задачу курса "Дискретная математика" не говорил. Я говорил лишь о самом курсе, его содержании. Ваше мнение на этот счёт мне вполне понятно. Спасибо. Хотелось бы услышать, однако, и математиков.

А по поводу "механического собрания" замечу следующее. Между графами и алгеброй логики или графами и комбинаторикой общего, на мой взгляд, всё же явно побольше, чем между теорией линейных пространств (линейной алгеброй) и, скажем, теорией групп. Ну, или булевых алгебр. Однако, то, что и та, и другая, и третья теории относятся к одному разделу математики - к алгебре, - вроде, никем не оспаривается.

[dgwuqtj]

Про математический анализ тоже можно сказать, что это чисто механическое собрание фрагментов. Просто фрагменты побольше, ну и сам курс не на один семестр.

[Евгений Машеров]

Mihr в сообщении #1666744 писал(а):

, чем между теорией линейных пространств (линейной алгеброй) и, скажем, теорией групп.

"Теория представлений"

[mihaild]

drzewo, а аналитическую теорию чисел Вы считаете дискретной или непрерывной?

[Stratim]

В основаниях математики лежат базовые понятия и аксиомы. Если кто-то хочет очертить все то, что относится к "дискретной математике", обозначьте основные понятия этого раздела и основные аксиомы и все станет на своё место.

Но простая иерархия здесь не пройдёт, взаимосвязь между отдельными дисциплинами математики можно описать лишь сетью. Там упорядоченность имеет место, но она более широкая.

Для меня главы содержания приведенной книги полезны, так как позволяют расшифровать раздел "Дискретная математика".

Вообще тему завели ценную. Автору наше "КУ".

[Anton_Peplov]

По моим ощущениям, дискретную математику часто трактуют как математику конечных или счетных множеств. Что общего между комбинаторикой, теорией игр, теорией графов? То, что обычно рассматривается конечное или счетное (но в подавляющем большинстве задач именно конечное) число элементов. Элементов в выборке, игроков, ходов и стратегий, вершин и ребер. А раз множество не более чем счетное, то оно и "дискретное" - элементы можно перенумеровать, и между соседними номерами не будет других элементов. В отличие от континуальных числовых или функциональных пространств. Или от алгебры, где аксиомы многих структур могут выполняться на множествах любой мощности.

По этому признаку к дискретной математике следует отнести и логику, и теорию алгоритмов, и теорию чисел. И не удивлюсь, если элементы ТЧ вошли в какие-то учебники по дискретной математике. Элементы логики и алгоритмов точно вошли, примеры были выше.

dgwuqtj в сообщении #1666745 писал(а):

Про математический анализ тоже можно сказать, что это чисто механическое собрание фрагментов. Просто фрагменты побольше, ну и сам курс не на один семестр.

Не могу согласиться. Во всех разделах матана мы изучаем функции на $\mathbb R^n$. Математический анализ - это теория "все более хороших" (интегрируемых, непрерывных, гладких, аналитических) функций $\mathbb R^n \to \mathbb R$ (у особых эстетов вроде Зорича - $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$).

(Личный психологический опыт)

drzewo в сообщении #1666705 писал(а):

я просто констатирую очень глубокую разность методов и разность стилей мышления людей, которые в этих разделах работают

Я, конечно, не математик и могу решать только учебные задачи на доказательство. Но что-то подобное ощутил на себе. Мне как-то даже физиологически гораздо легче думать про графы и алгоритмы, чем про частные производные. Когда читаю доказательство теоремы из "дискретной" математики, ощущение, что слежу за шахматной партией. Как-то вот именно дискретно элементы в голове переставляются, отдельно друг от друга, как фигуры на доске. И пусть я не гроссмейстер и даже не разрядник, пусть я сам так не сыграю, следить - одно удовольствие. Когда читаю какое-нибудь доказательство существования и единственности решения диффура, ощущение, что слежу за игрой скрипача. Как-то все плавно и неведомо друг в друга перетекает, с трудом членясь на части.

Sender в сообщении #1666709 писал(а):

А топология, на ваш взгляд, относится к дискретному мышлению или к непрерывному? Я слышал, немало "дискретчиков" подалось в топологи.

Вопрос задан не мне, но попробую и я ответить. Удивительно, но именно про общую топологию мне думается лучше всего, хотя понятие непрерывности центральное как раз для топологии. По моим ощущениям, математика резко "непрерывнеет" в голове, когда подключается дифференцируемость или измеримость/интегрируемость. Хотя, может быть, это просто более тонкие свойства, и мне становится сложнее, потому что сами задачи более сложные.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1666754 писал(а):

Во всех разделах матана мы изучаем функции на $\mathbb R^n$.

Ага, кроме рядов, комплексного анализа, теории меры и функционального анализа. А если, как некоторые предлагают, в матан запихивать и абстрактный гармонический анализ, то это вообще теория групп будет.

[drzewo]

mihaild в сообщении #1666748 писал(а):

drzewo, а аналитическую теорию чисел Вы считаете дискретной или непрерывной?

Пролистал книжку А.Л. Карацубы. Интегралы, асимптотики, ТФКП. Аппаратом является анализ, как я понял. Непрерывная наука, полагаю.

[Anton_Peplov]

dgwuqtj в сообщении #1666755 писал(а):

Ага, кроме рядов, комплексного анализа, теории меры и функционального анализа

Почти все это, кроме азов комплексного анализа, тоже рассматривается в приложении к вещественным функциям. Измеримые вещественные функции, разложение вещественных функций в ряды, пространства вещественных функций. Хоть это и части гораздо бóльших теорий, студенту, изучающему матанализ, этого не видно. А вот "соляночность" дискретной математики бросается в глаза даже первокурсникам (это я еще по себе помню).

[dgwuqtj]

Вот только функции не на $\mathbb R^n$ и не всегда даже на многообразиях. В той же теории чисел нужны интегралы Лебега от функций $\mathbb Q_p \to \mathbb R$. И в теории вероятностей такого хватает.