маткиб писал(а):
А вот и ошибка:
ddn писал(а):
Если для каждого

существует непустое множество

, ...
и далее по тексту предложенного решения рассуждения проводятся в предположении этого существования.
В задаче ничего не сказано про существование такого множества

для любого

, а оно может и не существовать, например, если

- тождественная истина. Соль задачи как раз в том, чтобы обойти это несуществование!
А я подумал, что Вы просто по небрежности упустили это условие. Ладно. Ваша формулировка сильно растягивает выкладки, поэтому изложу в общих чертах.
Есть четырехтомник "Справочник по мат. логике" - это первая книжка, где я познакомился (том III) с аксиоматическим изложением теории множеств и индуктивным, то есть пошаговым, построением множеств - хорошая книжка, ясное изложение. Там аналогично решается вопрос об категоричном выборе множества -
представителя множеств данной мощности, когда аксиома выбора отсутствует (кардиналы здесь уже не выполняют своих функций):
отбираются множества данной мощности, принадлежащие минимальной иерархии, содержащей такие множества - а эта подсовокупность множеств сама является множеством по включению в иерархию.
В нашей "задаче" также отыскивается минимальная иерархия-множество

(с минимальным ординальным уровнем

), в которой присутствуют множества

из совокупности (класса) множеств, удовлетворяющих свойству

. Хоть одна такая иерархия найдется (значит найдется и минимальная), ибо объединение всех иерархий - класс

совпадает с классом всех множеств

, а совокупность

по условию непуста. Некоторое непустое под
множество 
вообще говоря
класса 
всегда найдется, и для его получения через аксиому подстановки можно сконструировать соответствующую формулу - так что нет нужны изменять этот пункт в доказательстве.
Все эти рассуждения можно сформулировать и без использования классов - применяя трансфинитую индукцию.
Справка:
Иерархии для определяются по индукции

для всех ординалов

.
Очевидно

и

при

(эквивалентно: при

, при

).
Каждая иерархия

- множество.
Как видите, здесь представлена только общая схема доказательства, ибо строгий формальный вывод его непосредственно из аксиом слишком длинный: транзитивные множества

ординалы

иерархии.
Ваше утверждение гарантировано доказуемо лишь когда класс всех множеств совпадает с классом

всех множеств, индуктивно построенных из пустого - что справедливо лишь при выполнении аксиомы фундирования. Ведь может оказаться, что все множества

, удовлетворяющие свойству

, неидуктивны (найдется бесконечная цепочка

) и категорично выделить (т.е. выделить формулой) из них непустое подмножество будет невозможно. Без этого пункта доказательство
не сделать!
Нужно использовать аксиому фундирования, а значит иерархии (здесь
AGu прав), а там где иерархии - там громоздкие формальные доказательства.
В общем, я хочу сказать, что это
не олимпиадная задачка - слишком громоздкий формализм. Это вообще не задача. Задачи касаются частных примеров, а ваш вопрос относится к фундаментальным вещам.
Ваше утверждение относится к классу так называемых
элементарных следствий аксиоматической теории, раскрывающей суть теории и назначение ее аксиом. Не секрет, что аксиомы стараются изложить наиболее сжато, в наиболее ослабленной формулировке и чтобы наглядно продемонстрировать их основное содержание, приходиться делать ряд простых следствий: например, в теории групп приходится доказывать единственность нейтрального и обратного элемента, в теории векторных пространств - доказывать коммутативность сложения векторов и т.д. Но не называть же это задачами?