Почему множество не входит в P_n

[Cynic]

Решаю задачки по линейной алгебре, и наткнулся на такую:

Цитата:

Определить является ли множество всех полиномов вида $p(t)=a+t^2$ где $a \in R$, подмножеством $P_n$, где $P_n$ это множество всех полиномов степени не ниже $n$.

С моей точки зрения в данном задании $n=2$, а значит $P_n$ это множество полиномов вида ${a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2}$ или другими словами, т.к. $a \in R$, множество линейных комбинаций векторов $[x^0, x^1, x^2]$. Нулевым вектором в $P_n$ является нулевой полином, т.е. полином у которого все коэффициенты $[a_0 ... a_n]$ равны нулю.
В ответе к этому заданию автор утверждает, что множество $p(t) \not \in P_n$, потому что $p(0) \not \in P_n$. Но я считаю, что это не так, т.к. $p(0)=a$, но при $a=0$ и $p(0)=0, что совпадает со значением нулевого полинома в $P_n$. Множество же $p(t) \not \in P_n$, потому что $p(t)+q(t) \not \in p(t)$ и $cp(t) \not \in p(t)$ при $c \in R$.

Подскажите мне где я прав или неправ.

[drzewo]

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

Подскажите мне где я прав или неправ.

здесь неправ:

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

$P_n$ это множество полиномов вида ${a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2}$

[dgwuqtj]

Каким образом значение многочлена в нуле связано с его принадлежностью $P_n$? Каждый многочлен $p(t)$ принадлежит $P_2$ прямо по определению, ничего считать не надо. Ваши формулы $p(t) + q(t) \notin p(t)$ и $c p(t) \notin p(t)$ я вообще не понял, многочлены — это же не множества.

[Mikhail_K]

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

$P_n$ это множество всех полиномов степени не ниже $n$.

Формулировка точно именно такая? В частности, не сказано, что такое $n$, и также не сказано, что нужно дать ответ при любом $n$? Написано именно "не ниже", а не "не выше"?

Не ниже $n$ - значит степени $\geq n$. То есть при $n=2$, $P_n$ есть множество полиномов второй, третьей, четвёртой и т.д. - любой степени $\geq 2$. Это множество не является линейным пространством - например при $n=2$ линейные функции и константы не принадлежат $P_n$. Так я понимаю условие задания (хотя оно и не кажется мне эстетичным). Так что в этом случае сказанное здесь

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

$n=2$, а значит $P_n$ это множество полиномов вида ${a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2}$ или другими словами, т.к. $a \in R$, множество линейных комбинаций векторов $[x^0, x^1, x^2]$. Нулевым вектором в $P_n$ является нулевой полином, т.е. полином у которого все коэффициенты $[a_0 ... a_n]$ равны нулю

неверно.

При $n=0,1,2$ ответ положительный, при $n\geq 3$ отрицательный, поскольку все $p(t)$ (при любом $a$) имеют степень $2$.

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

В ответе к этому заданию автор утверждает, что множество $p(t) \not \in P_n$, потому что $p(0) \not \in P_n$.

Это какая-то ерунда.

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

Но я считаю, что это не так, т.к. $p(0)=a$, но при $a=0$ и $p(0)=0$, что совпадает со значением нулевого полинома в $P_n$. Множество же $p(t) \not \in P_n$, потому что $p(t)+q(t) \not \in p(t)$ и $cp(t) \not \in p(t)$ при $c \in R$.

Это тоже непонятно. Элементами множеств из условия задачи являются сами полиномы, а не их значения в каких бы то ни было точках, будь то $t=0$ или другие точки. Про полиномы также нельзя говорить, являются ли они элементами ($\in$) друг друга.

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

С моей точки зрения в данном задании $n=2$

А это сказано в условии задания?

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

Множество же $p(t) \not \in P_n$, потому что $p(t)+q(t) \not \in p(t)$ и $cp(t) \not \in p(t)$ при $c \in R$.

Здесь Вы пишете что-то похожее на проверку, является ли множество линейным пространством (хотя запись по-любому ошибочная, так не пишут). А требуется ли это в задании?

Пока такое впечатление, что и задание кривое, и авторское решение, и Ваше решение. В какой именно книге такое задание?

[Someone]

А там речь идёт точно о множествах, а не о линейных пространствах? Как точно сформулирована задача? Не заменяя непонятных слов понятными.

[Mikhail_K]

Cynic

(Оффтоп)

Cynic в сообщении #1666537 писал(а):

Но я считаю, что это не так, т.к. $p(0)=a$, но при $a=0$ и $p(0)=0, что совпадает

В этом предложении Вы забыли поставить закрывающийся доллар после последней формулы. В результате Ваше сообщение выглядит нормально, а вот у меня, когда я решил Вас процитировать, сообщение вначале отобразилось некорректно, и мне пришлось его вручную редактировать. Ничего страшного тут нет, но всё же не забывайте правильно оформлять формулы.

[Cynic]

Это американский учебник по линейной алгебре. Видимо с переводом не задалось, давайте посмотрим на оригинал.

Вот как в тексте определяется $P_n$:

Цитата:

For $n>=0$, the set $P_n$ of polynomials of degree at most $n$ consists of all polynomials of the form $p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+...+a_nt^n$ where the coefficients $a_0 ... a_n$ and the variable $t$ are real numbers. The degree of $p$ is the highest power of $t$ whose coefficient is not zero. If $p(t)=a_0\neq0$, the degree of $p$ is zero. If all the coefficients are zero, $p$ is called the zero polynomial. The zero polynomial is included in $P_n$ even though its degree, for technical reasons, is not defined. Clearly, the zero polynomial acts as the zero vector.

Это само задание:

Цитата:

In Exercises 5–8, determine if the given set is a subspace of $P_n$ for an appropriate value of n. Justify your answers.
...
6) All polynomials of the form $p(t)=a+t^2$, where a is in R.

Это ответ который дает автор:

Цитата:

No. The zero vector is not in the set

[mihaild]

Вот. Не подмножеством, а подпространством (subspace). Т.е. 1) является ли оно подмножеством; 2) замкнуто ли относительно операций.

[dgwuqtj]

Cynic в сообщении #1666556 писал(а):

the set $P_n$ of polynomials of degree at most $n$

Степени не больше $n$!

[Cynic]

mihaild в сообщении #1666559 писал(а):

Вот. Не подмножеством, а подпространством (subspace). Т.е. 1) является ли оно подмножеством; 2) замкнуто ли относительно операций.

Да, верно.

Но мне всё равно не понятно, почему автор дает такой ответ. Ведь при $t=0$ и $a=0$ и $p(t)=0$, а $p(t) \not \in P_n$ потому что $p(t)=a+t^2$ не замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.

[mihaild]

Cynic в сообщении #1666571 писал(а):

Ведь при $t=0$ и $a=0$ и $p(t)=0$, а $p(t) \not \in P_n$ потому что $p(t)=a+t^2$ не замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр

Вы точно правильно понимаете смысл всех используемых обозначений?
$p(t) \in P_2$
Говорить "полином не замкнут относительно сложения" нельзя.
Да, еще можно сказать, что множество $\{a + t^2\}$ не замкнуто относительно сложения, и потому не является подпространством. Это тоже корректный ответ.
(собственно это множество очень сильно не похоже на подпространство, так что задача выглядить слегка странной, хотя она и корректна)

[skobar]

Cynic в сообщении #1666571 писал(а):

Но мне всё равно не понятно, почему автор дает такой ответ.

Потому что любое подпространство содержит нулевой вектор, т.е. тождественно равный нулю многочлен в данном случае. Среди многочленов вида $a+t^2$ нет многочленов, тождественно равных нулю.

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1666569 писал(а):

Степени не больше $n$!

Не надо кричать, а то факториал проснется

[Cynic]

mihaild в сообщении #1666574 писал(а):

$p(t) \in P_2$

Согласен

mihaild в сообщении #1666574 писал(а):

Говорить "полином не замкнут относительно сложения" нельзя.
Да, еще можно сказать, что множество $\{a + t^2\}$ не замкнуто относительно сложения, и потому не является подпространством. Это тоже корректный ответ.

Надеялся, что из контекста понятно о чём идёт речь.

-- 22.12.2024, 19:26 --

skobar в сообщении #1666577 писал(а):

Cynic в сообщении #1666571 писал(а):

Но мне всё равно не понятно, почему автор дает такой ответ.

Потому что любое подпространство содержит нулевой вектор, т.е. тождественно равный нулю многочлен в данном случае. Среди многочленов вида $a+t^2$ нет многочленов, тождественно равных нулю.

тождественно равный нулю подразумевает, что он равен нулю при всех $t$ я правильно понимаю?

[skobar]

Cynic в сообщении #1666581 писал(а):

тождественно равный нулю подразумевает, что он равен нулю при всех $t$ я правильно понимаю?

Совершенно верно.