Малые колебания систем (ТеорМех)

[Shpilev]

Привет! Не понимаю как перейти к нормальным координатам в след задаче:
Для заданного потенциала нужно найти частоты малых колебаний, перейдя к нормальным координатам.

\[ U = \frac{k}{2} \cdot (x^2 + y^2 ) + \frac{{U_0 a^2 }}{{a^2 + xy}} \]

Взял первые производные:

\[ \begin{array}{l} \frac{{\partial U}}{{\partial x}} = kx - \frac{{U_0 a^2 y}}{{(a^2 + xy)^2 }} \\ \frac{{\partial U}}{{\partial y}} = ky - \frac{{U_0 a^2 x}}{{(a^2 + xy)^2 }} \\ \end{array} \]

Получил (?):

\[ x = 0,y = 0 \]

Теперь рассматривая потенциал вблизи (0;0) нужно как-то перейти к нормальным координатам пользуясь условием малости "х" и "y". А как пользоваться условием не пойму.
Пытался разложить

\[ (1 + \frac{{xy}}{{a^2 }})^{ - 1} \]

но пришел к тому откуда вышел. Все частные производные до 2 в (0;0) равны 0 кроме смешанной она в ней

\[ {a^{ - 2} } \]

и умножается на "ху"

[peregoudov]

Shpilev в сообщении #166469 писал(а):

Получил (?):

\[ x = 0,y = 0 \]

Правильно. Первым делом найти положение равновесия.

Shpilev в сообщении #166469 писал(а):

Пытался разложить

\[ (1 + \frac{{xy}}{{a^2 }})^{ - 1} \]

Правильно. Вторым делом разложить потенциальную энергию в окрестности равновесия до квадратичных членов, то есть

$$ \frac{{U_0 a^2 }}{{a^2 + xy}}=U_0-U_0xy/a^2+\dots $$

(первое слагаемое у Вас и так квадратичное). А теперь приводим квадратичную форму

$$ \frac{k}{2} \cdot (x^2 + y^2 ) -U_0xy/a^2 $$

к диагональному виду. Только тут одна тонкость есть: нужно еще кинетическую энергию знать. Если она $\sim\dot x^2+\dot y^2$, то просто диагонализуете потенциальную, а если нет... тогда еще интереснее.

[Munin]

Shpilev писал(а):

Все частные производные до 2 в (0;0) равны 0 кроме смешанной она в ней

\[{a^{ - 2} }\]

и умножается на "ху"

Это то что надо. Теперь матрицу этих коэффициентов
$\left(\begin{array}{cc} 0 & a^{-2}/2\\ a^{-2}/2 & 0\end{array}\right)$
надо повернуть так, чтобы она приняла диагональный вид. Это и будет приведение к нормальным координатам. О кинетической энергии можете не заморачиваться, если ничего сложного не оговорено, она такая, какая нужно.

[Shpilev]

Я решил, спасибо!
Однако преобразовывал методом Лагранжа.
А где можно прочитать про преобразование квадратичной формы к нормальному виду при помощи матрицы (так что бы с практическим примером)?

[peregoudov]

Shpilev в сообщении #167529 писал(а):

Однако преобразовывал методом Лагранжа.

А кинетическая энергия при этом не запортится? Вообще-то предполагалось, что приводить будете ортогональным преобразованием.

Shpilev в сообщении #167529 писал(а):

А где можно прочитать про преобразование квадратичной формы к нормальному виду при помощи матрицы

А чего там читать? Решаете задачу на собственные значения/векторы, из векторов составляете матрицу преобразования, из значений --- преобразованную матрицу квадратичной формы.

[Shpilev]

Запортилась ))) Я потом поправлял

[Munin]

Shpilev в сообщении #167529 писал(а):

А где можно прочитать про преобразование квадратичной формы к нормальному виду при помощи матрицы (так что бы с практическим примером)?

Это в курсе линейной алгебры и аналитической геометрии должно быть.