Функции для описания рельефа Земли и свойств земного шара

[Stratim]

Теперь уже не имеет значения в каком разделе. Важно, что я получил ответы на имеющиеся вопросы.

Просьба к Модератору подправить название темы на - "Функции для описания свойств земной поверхности".

Так будет точнее. Но вопросы у меня именно к математикам. Пока мне есть с чем разбираться по данным ссылкам, но возможно кто-то из математиков мог бы ещё что-то подсказать.

[Ende]

Stratim в сообщении #1665236 писал(а):

Просьба к Модератору подправить название темы на - "Функции для описания свойств земной поверхности".

Геомагнитное поле - это не земная поверхность.

[Stratim]

Интересует распределение поля по поверхности, а не в целом (в объёме). Я вообще-то радиофизик по образованию.

Я же не случайно тему назвал "Специальные функции". Мы сразу и вышли на полиномы Лежандра, которые в одном разделе со сферическими функциями. Но не факт, что они мне подойдут.

[мат-ламер]

Stratim в сообщении #1665190 писал(а):

Интерес представляют функции описания рельефа земли в целом

Тут многое зависит, а с какой детальностью вы хотите описать этот рельеф? Если не сильно детально, то подойдут хотя бы сплайны. А вот если вы захотите детальность увеличить, то заметите, что на некоторых участках аппроксимируемая функция практически постоянна, а на некоторых имеет достаточно сложное поведение. Можно для сплайнов уменьшить размер сетки. Но это не будет оптимальным решением. Поэтому рассматривают сплайны, где сетка детализируется (измельчается) адаптивно именно в тех местах, где функция меняется особенно быстро.

[Stratim]

Сплайны мне не подойдут. Детализация там у меня небольшая, гладкая, но есть асимметрия, причём небольшая.

Для меня здесь важна аналитичность и связь с дифференциальным уравнением, оно даже более важно. Через функции как раз и хочу выйти на необходимое дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение опишет динамику. Полиномы Лежандра здесь как раз этим интересны. Постараюсь с ними разобраться детальнее, но не уверен, что уравнение их порождающее подойдёт, поэтому хочется для начала пошире посмотреть, может быть есть какие-то другие варианты.

[мат-ламер]

Stratim в сообщении #1665285 писал(а):

Функции для описания рельефа Земли и свойств земного шара

Stratim в сообщении #1665285 писал(а):

Дифференциальное уравнение опишет динамику

Динамику изменения рельефа Земли? Динамику изменения свойств земного шара? Извините, я тут не специалист. У себя на компе обнаружил книгу - Веселов В.В., Гонтов Д.П., Пустыльников Л.М. - "Вариационный подход к задаче интерполяции физических полей". Доступна в либгене. Может это то, что вам нужно.

[Stratim]

В данном случае речь идёт об изменении магнитного поля у поверхности, а оно весьма изменчиво, в том числе и под действием вспышек на Солнце.

Вариационный метод будет весьма полезен при решении уравнения, но мало чем поможет для выявления самого уравнения, его типа.

При этом распределение магнитного поля у поверхности для простоты начального этапа можно взять совсем простым, например, не более 10 неоднородностей, но не симметричных, то есть упрощение с использованием симметрии здесь не подойдёт. Саму поверхность тоже можно в первом приближении взять в виде идеальной сферы, а не геоида.

[Евгений Машеров]

Гаусс для описания земного магнетизма использовал сферические функции. Если верить адмиралу Крылову, его предшественник на посту директора Главной Физической Обсерватории Вильд пытался описать с их же применением характеристики климата.
Но вообще мне кажется, что Вы неверно понимаете, что есть "специальные функции". Это не функции, специально изобретённые для каких-то физических и т.п. задач. Это функции, возникающие в ходе решения дифуравнений, описывающих реальные задачи, когда выясняется, что ответ через элементарные функции не выражается, но выражается через некие новые, и эти новые функции могут появиться и в других задачах, так что усилия на их исследование, табулирование, изобретение алгоритмов расчёта и т.п. оправданы.

[Stratim]

Евгений, именно это меня в них и привлекло. Мне нужны именно нетривиальные функции во взаимосвязи с дифференциальными уравнениями, то есть как их решение.

Здесь в этой теме мне дали хорошую ссылку, как раз вроде то что надо, но не факт, что дифференциальное уравнение подойдёт под мою задачу.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%BB%D0%B5

Есть же наверное какой-то критерий отнесения функций к специальным? Функций, как решений дифференциальных уравнений много, но не все же попали в разряд специальных.

Может быть здесь есть кто-то, знакомый хорошо с топологией. Она сейчас активно развивается, может быть её методы какие-то можно здесь применить? Сходу по учебникам понять это сложно, надо глубоко вникать и смотреть где и как практически применяется.

[Утундрий]

Stratim в сообщении #1665425 писал(а):

Есть же наверное какой-то критерий отнесения функций к специальным? Функций, как решений дифференциальных уравнений много, но не все же попали в разряд специальных.

Критерий проще некуда: любая не элементарная функция является специальной.

[Stratim]

И какие критерии неэлементарности?

[Sender]

Можете ознакомиться, например, здесь.
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Gardi1935ru.pdf

[Stratim]

Я тему назвал "Специальные функции". Модератор её переименовал... я тут ни при чём.

У меня вопрос не про элементарные функции, а про СПЕЦИАЛЬНЫЕ. Какие критерии отнесения функций к таковым.

Дельта функция не является вроде как элементарной, но она же не попала в разряд специальных. Значит есть какие-то другие критерии.

[Евгений Машеров]

Утундрий в сообщении #1665548 писал(а):

Критерий проще некуда: любая не элементарная функция является специальной.

Я бы возразил. Скажем, в известном справочнике Абрамовица и Стигана по специальным функциям к ним отнесены и ортогональные многочлены, у Янке, Эмден, Лёш включены тригонометрические и гиперболические функции, и также полиномы. Это всё "элементарные". С другой стороны, существует бесконечно много неэлементарных функций, которых никто не зовёт "специальными" по той причине, что они никому не нужны.
Дать строгое определение для специальных функций не могу (для элементарных определение есть, скажем, в книге Харди по ссылке выше). Это просто "полезные функции", которые появились в процессе решений каких-то задач, как правило, как решения дифуравнений, и оказались достаточно широко востребованы, чтобы их изучали особо. Большинство из них действительно неэлементарно, но есть и элементарные.

[Stratim]

В решении той задачи, что занимаюсь, мне местные знатоки уже помогли, есть во что вникать.
Это в первую очередь справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям и полиномы Лежандра.

Вопросы терминологии по специальным функциям это все как бы к делу особо не имеет отношение.

Есть ещё вопрос по ТОПОЛОГИИ. С ходу по учебникам оценить полезность для решаемой задачи не получилось. Может здесь есть знатоки темы. Интересует в первую очередь вопрос методологии работы с узлами.