2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел последовательности
Сообщение22.11.2008, 18:32 
Найти предел числовой последовательности $(1- \frac{a}{\sqrt{n}})^n$ , $a > 0$
Ответ-то в общем-то 0, но каким методом его можно точно получить? Ряд Тейлора? Замечательный предел?

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 18:36 
Аватара пользователя
Используйте второй замечательный предел.

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 18:43 
раз Вы уже знаете, что такое ряд Тейлора (хотя вообще-то формула, а не ряд, ну да не суть), то проще всего -- прологарифмировать, сделать замену $t={1\over\sqrt n$ и применить правило Лопиталя.

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 19:22 
Ок, тогда получаем, что (по правилу Лопиталя)

lim{t->0} ln (1-at)^(1/t^2) = lim{t->0} a/ (2at^2 -2t), а равно это бесконечности, но с каким знаком? Затем, чтобы вернуться к исходному пределу, мы переставляем операторы логарифма и предела, но такая перестановка возможна, только если функция, стоящая под логарифмом, будет иметь конечный предел, точку, в которой логарифм непрерывен, а здесь мы получаем бесконечность под логарифмом...

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 19:31 
Аватара пользователя
$(1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n }  \to e^{ - a}  < 1 \Rightarrow 2\delta  = 1 - e^{ - a}  > 0 \Rightarrow \exists \;N:\;\forall n > N \Rightarrow (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n }  < 1 - \delta $

Тогда $0 < (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^n  = ((1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } )^{^{\sqrt n } }  < (1 - \delta )^{\sqrt n }  \to 0$

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 20:21 
Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение10.12.2008, 14:38 
А что произойдет, если в исходном пределе минус поменять на плюс?

 
 
 
 
Сообщение10.12.2008, 14:53 
Аватара пользователя
Получится бесконечность.

 
 
 
 
Сообщение10.12.2008, 15:00 
Brukvalub писал(а):
$(1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n }  \to e^{ - a}  < 1 \Rightarrow 2\delta  = 1 - e^{ - a}  > 0 \Rightarrow \exists \;N:\;\forall n > N \Rightarrow (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n }  < 1 - \delta $

Тогда $0 < (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^n  = ((1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } )^{^{\sqrt n } }  < (1 - \delta )^{\sqrt n }  \to 0$

Зверское решение!

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

undeddy в сообщении #160958 писал(а):
, но такая перестановка возможна, только если функция, стоящая под логарифмом, будет иметь конечный предел, точку, в которой логарифм непрерывен, а здесь мы получаем бесконечность под логарифмом...

Если логарифм стремится к минус бесконечности, то подлогарифменное выражение гарантированно стремится к нулю.

 
 
 
 
Сообщение10.12.2008, 15:02 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #166438 писал(а):
Зверское решение!
Ну, так я и есть маленькая зверушка (см. фото на аватаре) :D

 
 
 
 
Сообщение10.12.2008, 15:49 
Как это можно доказать?

 
 
 
 
Сообщение10.12.2008, 16:02 
Аватара пользователя
undeddy в сообщении #166455 писал(а):
Как это можно доказать?
Например, так же, как я доказал предыдущий случай, только оценку нужно поменять с верхней на нижнюю.
Но учтите - ewert будет недоволен!

 
 
 
 
Сообщение10.12.2008, 16:56 
Спасибо еще раз.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group