Скамья Жуковского

[drzewo]

Устройство этого девайса, разумеется, всем известно. Используется для демонстрации, чего бы вы думали?

На горизонтальной платформе, которая может свободно вращаться вокруг вертикальной оси стоит человек. У человека в руках невесомый стержень с насаженным на него однородным диском массы $m$, радиуса $r$. Платформу и человека считаем твердым телом, момент инерции этого твердого тела относительно оси платформы обозначим за $J$.
В начальный момент времени платформа не вращается, невесомый стержень в руках человека расположен горизонтально, а диск раскручен до угловой скорости $\omega_0$.
Человек поворачивает ось диска (стержень) на угол $\theta$ так, что центр масс диска не меняет своего положения относительно платформы, а ось диска все время находится в вертикальной плоскости, неподвижной относительно платформы.
Найти угловую скорость платформы после поворота оси диска.

[drzewo]

расстояние от центра масс диска до оси вращения платформы равно $\ell$

[drzewo]

Собственно, вот почему я нахожу эту задачу интересной. То, что проекция кинетического момента системы на вертикальную ось сохраняется и равна нулю -- это известно и всюду написано. Но это система с двумя степенями свободы, поэтому одного уравнения для ее описания мало, нужно второе.
Как получить это второе уравнение без лагранжева формализма -- не очень понятно.
Ответ задачи:

$$-\frac{B\omega_0\sin\theta}{J+m\ell^2+A\cos\theta},\quad A=\frac{1}{4}mr^2,\quad B=\frac{1}{2}mr^2.$$

[peregoudov]

$\cos^2\theta$ в знаменателе.

Тут обе координаты циклические, так что ситуация не отличается от обычного лагранжева волчка, ЛЛ1, параграф 35.

[rascas]

drzewo
Предположим, что у нас ось гироскопа расположена горизонтально, гироскоп разумеется раскручен до некоторой угловой скорости.
Также предположим, на движение оси гироскопа наложена связь такая, что ось гироскопа может поворачиваться только относительно вертикальной оси, проходящий через центр масс гироскопа.
Какой момент нужно приложить, чтобы повернуть, придать угловую скорость, этому гироскопу вокруг вертикальной оси?

(мой ответ)

На всякий случай, мой ответ ноль $[H{\cdot}\text{м}]$. Вы согласны с этим ответом?

[drzewo]

rascas в сообщении #1665521 писал(а):

а всякий случай, мой ответ ноль $[H{\cdot}\text{м}]$. Вы согласны с этим ответом?

не согласен

[rascas]

Обратил внимание, что наблюдается какой-то "эффект памяти" с этой формулой.

Предположим, осуществляем поворот на угол: $\theta=\frac{\pi}{4}$
$\omega=-\frac{B\omega_0\frac{\sqrt2}{2}}{J+m\ell^2+A\frac{\sqrt2}{2}}$$

А в другом случае осуществляем поворот на угол: $\theta=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}$
$\omega=-\frac{B\omega_0\frac{\sqrt2}{2}}{J+m\ell^2-A\frac{\sqrt2}{2}}$$

Скамья Жуковского, вроде находится в одинаковом состоянии, но скорость вращения разная.
Предполагаю, что это связано с учётом:

drzewo в сообщении #1665529 писал(а):

rascas в сообщении #1665521 писал(а):

На всякий случай, мой ответ ноль $[H{\cdot}\text{м}]$. Вы согласны с этим ответом?

не согласен

[drzewo]

В моей формуле в знаменателе опечатка. Должно быть

$$-\frac{B\omega_0\sin\theta}{J+m\ell^2+A\cos^2\theta},\quad A=\frac{1}{4}mr^2,\quad B=\frac{1}{2}mr^2.$$