Предел последовательности

[undeddy]

Найти предел числовой последовательности $(1- \frac{a}{\sqrt{n}})^n$ , $a > 0$
Ответ-то в общем-то 0, но каким методом его можно точно получить? Ряд Тейлора? Замечательный предел?

[mkot]

Используйте второй замечательный предел.

[ewert]

раз Вы уже знаете, что такое ряд Тейлора (хотя вообще-то формула, а не ряд, ну да не суть), то проще всего -- прологарифмировать, сделать замену $t={1\over\sqrt n$ и применить правило Лопиталя.

[undeddy]

Ок, тогда получаем, что (по правилу Лопиталя)

lim{t->0} ln (1-at)^(1/t^2) = lim{t->0} a/ (2at^2 -2t), а равно это бесконечности, но с каким знаком? Затем, чтобы вернуться к исходному пределу, мы переставляем операторы логарифма и предела, но такая перестановка возможна, только если функция, стоящая под логарифмом, будет иметь конечный предел, точку, в которой логарифм непрерывен, а здесь мы получаем бесконечность под логарифмом...

[Brukvalub]

$(1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } \to e^{ - a} < 1 \Rightarrow 2\delta = 1 - e^{ - a} > 0 \Rightarrow \exists \;N:\;\forall n > N \Rightarrow (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } < 1 - \delta $

Тогда $0 < (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^n = ((1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } )^{^{\sqrt n } } < (1 - \delta )^{\sqrt n } \to 0$

[undeddy]

Спасибо.

[undeddy]

А что произойдет, если в исходном пределе минус поменять на плюс?

[Brukvalub]

Получится бесконечность.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

$(1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } \to e^{ - a} < 1 \Rightarrow 2\delta = 1 - e^{ - a} > 0 \Rightarrow \exists \;N:\;\forall n > N \Rightarrow (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } < 1 - \delta $

Тогда $0 < (1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^n = ((1 - \frac{a}{{\sqrt n }})^{\sqrt n } )^{^{\sqrt n } } < (1 - \delta )^{\sqrt n } \to 0$

Зверское решение!

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

undeddy в сообщении #160958 писал(а):

, но такая перестановка возможна, только если функция, стоящая под логарифмом, будет иметь конечный предел, точку, в которой логарифм непрерывен, а здесь мы получаем бесконечность под логарифмом...

Если логарифм стремится к минус бесконечности, то подлогарифменное выражение гарантированно стремится к нулю.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #166438 писал(а):

Зверское решение!

Ну, так я и есть маленькая зверушка (см. фото на аватаре)

[undeddy]

Как это можно доказать?

[Brukvalub]

undeddy в сообщении #166455 писал(а):

Как это можно доказать?

Например, так же, как я доказал предыдущий случай, только оценку нужно поменять с верхней на нижнюю.
Но учтите - ewert будет недоволен!

[undeddy]

Спасибо еще раз.