Компланарная задача движения трёх тел

[Skipper]

Когда мы рассматриваем задачи на движение тел по прямой (с одним измерением координаты $x$),
мы обычно рассматриваем три функции, $S(t)$, $V(t)$, $A(t)$,
где $t$ - момент времени, вещественный аргумент функций, а сами эти три функции
в каждый момент времени выдают вещественное число $x = S(t)$ это сама итоговая координата
(или частный случай пройденного расстояния за время $t$),
$x_1 \in \mathbb{R} = V(t)$ - скорость тела,
$x_2 \in \mathbb{R} = A(t)$ - ускорение тела,
- это не сами координаты, но тоже вещественные значения, т.к. влияют на эту координату нахождения
тела на прямой.

Рассмотрим задачи на движение тел на неизменной плоскости. $2$ тела всегда
(какие бы изначальные расположения материальных точек, скорости и ускорения ни были) будут двигаться
в одной неизменной плоскости, что следует из законов Кеплера, относительно общего центра масс.
Одно тело относительно другого будет двигаться или по эллипсу, или по параболе или по гиперболе.
И эта задача имеет аналитическое решение, т.е. все функции можно найти и выписать явно.

Рассмотрим "компланарную" задачу движения $3$ тел, т.е. такую, где $3$ тела движутся всегда в одной
неизменной плоскости.Тогда существует некий общий центр масс, точка на этой плоскости,
и в начальный нулевой момент времени $t = 0$ , все векторы определяющие скорости всех трех тел,
так же как и векторы их ускорения, компланарные, т.е. находятся в какой то одной плоскости.
(очевидно, что в таком случае все три тела никогда за пределы этой плоскости не выйдут, т.к.
не будет сил, выводящих тела из этой плоскости, им неоткуда взяться, а другими телами
мы пренебрегаем, так как рассматриваем математическую задачу исключительно трех тел).

Что такое векторы скорости и векторы ускорений?
Аналогично, как мы определяли, скорости и ускорения тел при движении на прямой,
$x_1 \in \mathbb{R} = V(t)$ - скорость тела - функция выдает вещественное,
$x_2 \in \mathbb{R} = A(t)$ - ускорение тела - функция выдает вещественное,

где $x$ - вещественное, мы определим $z = (x + iy)$ - комплексное число, которое будет
определять и координаты тела $(x,y)$ в какой то момент времени, т.е. $z = S(t)$
в нашей плоскости, так и скорость тел их ускорение:

$z_1 \in \mathbb{C} = (x + iy) = V(t)$ - скорость тела - функция выдает комплексное,
$z_2 \in \mathbb{C} = (x + iy) = A(t)$ - ускорение тела - функция выдает комплексное,

Но как скорости и ускорения тел могут быть комплексными? В данном случае функция выдаёт комплексное
число, просто как пару вещественных значений , в виде вектора. Можно было бы сделать разные
функции для получения $x$ и $y$, но это только увеличило бы количество формул.

В любом случае, пара $x$ и $y$, как вектор скорости, показывает,
1) направление движения, например из точки $(0,0)$ в $(1,2)$ - направление известное,
и 2) длина этого вектора- абсолютная скорость, вещественное число.
Например вектор $(2,4)$ определяющий скорость, показывает что абсолютная скорость тела быстрее в
два раза чем определяемая вектором $(1,2)$ .

В случае с движением по прямой, для определения скорости тела достаточно было одной вещественной
переменной, а здесь в случае движения на плоскости, нужна пара таких переменных.
Аналогично и с ускорением- есть направление ускорения, определяемое силами, действующими на тело,
и абсолютное значение- как результирующая сила, действующая на тело от всех других тел,
в нашей задаче- от двух соседних тел.

Тогда для наших $3$ - х тел, движущихся в неизменной плоскости, можно определить $9$ функций,
от времени $t$ , выдающих комплексное значение-
$A_1(t) , V_1(t) , S_1(t) $ ,
$A_2(t) , V_2(t) , S_2(t) $ ,
$A_3(t) , V_3(t) , S_3(t) $ ,

где символы $1, 2, 3$ , означают функции для 1-го, 2-го , 3-го тел соответственно.
Аналитическим решением такой, компланарной задачи движения трёх тел, было бы нахождение функций
$S_1(t)$ ,
$S_2(t)$ ,
$S_3(t)$ ,

что и позволило бы вычислять в любой заданный момент времени, эти координаты всех трёх тел
на нашей плоскости. В общем случае, такая задача то ли не решаема вообще
(т.е. функции аналитически непредставимы), то ли решение неизвестно, потому вычисляют только
численными методами, с накоплениями погрешностей, и чем на бОльшее время вперёд, тем будут
больше погрешности.
Но какое то подмножество задач, с известными начальными (граничными) условиями, может быть,
вполне решаемы аналитически, т.е. эти функции будут представимы аналитически, а значит
на любое время наперед можно вычислять координаты трёх тел, без накопления погрешностей
в зависимости от времени.

Правильно ли я понимаю, что для любого тела, можно выразить аналогично производные,
функция скорости- производная от координат, функция ускорения- производная от скорости,
только с той разницей, что у нас функции могут выдавать комплексные значения?

Вместо $V$ будет писать $S'$ а вместо $A$ будем писать $S''$ .
К примеру начальные условия таковы: в момент времени $t=0$ , все скорости трёх тел равны $0$,
(дальше они будут изменяться из-за гравитационного взаимодействия тел),
а координаты тел, (за точку с координатами $0,0$ примем некую произвольную точку,
неважно какую, т.к. из начальных условий она будет влиять и на общее решение, т.е. на искомые функции),
пусть $(4,1) , (1, 5) , (-2,-2)$ ,

тогда имеем $6$ начальных условий,

$S_1(0) = (4+i) $ ,
$S_2(0) = (1+5i) $ ,
$S_3(0) = (-2 - 2i) $ ,
$S'_1(0) = S'_2(0) = S'_3(0) = 0 $ ,

и ещё имеем систему из трех дифференциальных уравнений. В каждый момент времени, на каждое
их трёх тел, действует сила, меняющая импульс тела, и как следствие, определяющая ускорение
каждого тела.
Имеем 4 константы, $G$ - гравитационная постоянная, $m_1 , m_2, m_3$ - заданные массы тел,
и в каждый момент времени $t$ три тела находятся в точках $S_1(t) , S_2(t) , S_3(t)$ ,

тогда на 1-е тело со стороны 2-го тела, действует сила ($r$ - временное значение, расстояние между телами):

$ F_2 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} =\frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{ | S_1(t) - S_2(t) | ^2} $

аналогично, со стороны 3-го тела, действует сила,

$ F_3 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_3}{r^2} =\frac{G \cdot m_1 \cdot m_3}{ | S_1(t) - S_3(t) | ^2} $

и результирующая сила будет равна,

$ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{ | S_1(t) - S_2(t) | ^2} + \frac{G \cdot m_1 \cdot m_3}{ | S_1(t) - S_3(t) | ^2} $

ускорение же обратно пропорционально массе самого тела $m_1$ (очевидно, если мы
толкаем тело с массой в $1$ кг, оно будет в $2$ раза быстрее ускоряться чем в случае если мы с той же
силой толкаем тело с массой в $2$ кг).
Тогда разделив результирующую силу, на массу рассматриваемого тела $m_1$ мы и получим его ускорение
в данный момент времени. А ускорение это вторая производная от координат.
Так как , $ G , m_1 , m_2, m_3$ - константы, упростим их, пусть,
$C_1 = G \cdot m_1$ ;и $C_2 = G \cdot m_2$ и $C_3 = G \cdot m_3$ ,
Имеет дифференциальное уравнение для тела-1,

$ \frac{d^2 S_1}{d t^2} = \frac{C_2}{ | S_1(t) - S_2(t) | ^2} + \frac{C_3}{ | S_1(t) - S_3(t) | ^2} $

Аналогично определяем два дифференциальных уравнения для двух других тел.
Итак, $C_1 , C_2 , C_3$ , определенные нами известные константы, Функции $ S_1 , S_2 , S_3$ , принимают
вещественный аргумент- время $t$, и определяют комплексное число, задающее координаты на плоскости, трёх тел.
Начальные условия записаны выше.
И получается, чтобы решить такую компланарную задачу движения трёх тел, нужно решить
систему из 3-х дифференциальных уравнений, и найти , т.е. определить функции $ S_1 , S_2 , S_3$ .

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{d^2 S_1}{d t^2} = \frac{C_2}{ | S_1 - S_2 | ^2} + \frac{C_3}{ | S_1 - S_3 | ^2} \\ \frac{d^2 S_2}{d t^2} = \frac{C_1}{ | S_2 - S_1 | ^2} + \frac{C_3}{ | S_2 - S_3 | ^2} \\ \frac{d^2 S_3}{d t^2} = \frac{C_1}{ | S_3 - S_1 | ^2} + \frac{C_2}{ | S_3 - S_2 | ^2} \\ \end{array} \right.$


а система из двух дифференциальных уравнений (аналогичная для
движения двух тел)- имеет аналитическое решение-

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{d^2 S_1}{d t^2} = \frac{C_2}{ | S_1 - S_2 | ^2} \\ \frac{d^2 S_2}{d t^2} = \frac{C_1}{ | S_2 - S_1 | ^2} \\ \end{array} \right.$

Правильно я составил систему уравнений для 3-х движущихся тел?
Удивляет. такая система не имеет аналитического решения? (выглядит несложно, и ненамного
сложнее чем система для 2-х тел, которая решается),

[drzewo]

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

Одно тело относительно другого будет двигаться или по эллипсу,

не тела, а материальные точки, не относительно другого, а относительно ИСО

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

Рассмотрим "компланарную" задачу движения $3$ тел, т.е. такую, где $3$ тела движутся всегда в одной
неизменной плоскости

это называется плоская задача трех тел

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

Что такое векторы скорости и векторы ускорений?

в учебнике написано

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

Аналогично, как мы определяли, скорости и ускорения тел при движении на прямой,
$x = V(t)$ - скорость тела,
$x = A(t)$ - ускорение тела,

где $x$ - вещественное, мы определим $z = (x + iy)$ - комплексное число, которое будет
определять и координаты тела $(x,y)$ в какой то момент времени, т.е. $z = S(t)$

думаю, ветку можно сносить

-- 02.12.2024, 18:57 --

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

Аналогично, как мы определяли, скорости и ускорения тел при движении на прямой,
$x = V(t)$ - скорость тела,
$x = A(t)$ - ускорение тела,

т.е. скорость равна ускорению.

[Skipper]

drzewo в сообщении #1663447 писал(а):

скорость равна ускорению

Не равна. $x$ - это переменная, а не постоянная (константа). Можно индексы добавлять,
но я решил индексами тут не загромождать, т.е. я здесь хотел только подчеркнуть, что пространственное измерение было 1-мерным, а далее рассматриваю плоскость- двумерную (там функции возвращают $z$ как символ комплексного).

-- Пн дек 02, 2024 17:05:32 --

Цитата:

вещественное значение $ = V(t)$ - скорость тела,
вещественное значение $ = A(t)$ - ускорение тела,

вот так например эквивалентно можно написать,

-- Пн дек 02, 2024 17:18:54 --

drzewo в сообщении #1663447 писал(а):

это называется плоская задача трех тел

Знаю. Так я составил в трёх комплексных функциях, вопрос, правильные дифференциальные уравнения или нет?
Если правильные, значит я правильно учусь, их составлять.

[Ende]

Skipper в сообщении #1663448 писал(а):

но я решил индексами тут не загромождать

Неверно решили. Обозначать две разные величины одной буквой - дурной тон. Просто написали бы, что $A, V$ - вещественные числа.

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

Что такое векторы скорости и векторы ускорений?

Серьезно не знаете? Это в школе проходят.

[Skipper]

Ende в сообщении #1663451 писал(а):

Обозначать две разные величины одной буквой - дурной тон.

Поправил.

Ende в сообщении #1663451 писал(а):

Серьезно не знаете?

Так я же ответил на вопрос, значит знаю.. (это был как бы наводящий вопрос, чтобы пояснить, что я дальше пытался подробно расписать, для дальнейшего составления уравнений).

[drzewo]

Skipper в сообщении #1663448 писал(а):

вопрос, правильные дифференциальные уравнения или нет?

Нет. А Вы учебник почитать не пробовали? Хотя бы затем что бы сравнить свои формулы с тем, что в учебнике.

-- 02.12.2024, 21:25 --

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

пройденного расстояния за время $t$),
$x_1 \in \mathbb{R} = V(t)$ - скорость тела,
$x_2 \in \mathbb{R} = A(t)$ - ускорение тела,

это вообше черт знает что

[Skipper]

Переопределим наши $C_1, C_1, C_3$ по-другому, чтобы были проще выкладки.
Это известные константы, потому напишем их так-

$C_1 = (G \cdot m_1) ^ {0.5} $ ;и $C_2 = (G \cdot m_2) ^ {0.5} $ и $C_3 = (G \cdot m_3) ^ {0.5}$ ,

тогда наша система дифференциальных уравнений для плоской задачи движения трех тел, будет такой.
Нужно решить систему из 3-х дифференциальных уравнений, и найти , т.е. определить функции $ S_1 , S_2 , S_3$ .

$\left\{ \begin{array}{rcl} S_1'' = \frac{C_2 ^2}{ | S_1 - S_2 | ^2} + \frac{C_3 ^ 2}{ | S_1 - S_3 | ^2} \\ S_2'' = \frac{C_1 ^2}{ | S_2 - S_1 | ^2} + \frac{C_3 ^2}{ | S_2 - S_3 | ^2} \\ S_3'' = \frac{C_1 ^2}{ | S_3 - S_1 | ^2} + \frac{C_2 ^2}{ | S_3 - S_2 | ^2} \\ \end{array} \right.$

Из первого уравнения системы выразим $S_3$ . Имеем,
$\frac{C_3 ^ 2}{ | S_1 - S_3 | ^2} = S_1'' - \frac{C_2 ^2}{ | S_1 - S_2 | ^2}$ ,
$\frac{C_3}{ | S_3 - S_1 | } = (S_1'' - \frac{C_2 ^2}{ | S_1 - S_2 | ^2} ) ^ {1/2}$ ,

$\frac{C_3}{ | S_3 - S_1 | } = ( \frac{S_1'' \cdot | S_1 - S_2 | ^2 - C_2 ^2}{ | S_1 - S_2 | ^2} ) ^ {1/2}$ ,

$\frac{C_3}{ | S_3 - S_1 | } = \frac{(S_1'' \cdot | S_1 - S_2 | ^2 - C_2 ^2) ^ {1/2} }{ | S_1 - S_2 | } $ ,

$ | S_3 - S_1 | = \frac{ C_3 \cdot | S_1 - S_2 | }{ (S_1'' \cdot | S_1 - S_2 | ^2 - C_2 ^2) ^ {1/2} } $ ,

$ S_3 = ( C_3 \cdot | S_1 - S_2 | \cdot (S_1'' \cdot | S_1 - S_2 | ^2 - C_2 ^2) ^ {-1/2} + S_1 ) $ ,

Аналогично, из второго уравнения системы выразим $S_3$ . Имеем (выкладки по аналогии),

$ S_3 = ( C_3 \cdot | S_1 - S_2 | \cdot (S_2'' \cdot | S_1 - S_2 | ^2 - C_1 ^2) ^ {-1/2} + S_2 ) $ ,

Таким образом, нашу исходную систему из 3-х дифф.уравнений мы можем привести, к системе из
2-х дифференциальных уравнений, избавившись от функции $S_3$,
т.е. оба дифф. уравнения в системе будут содержать только $S_1 , S_2$ ,
производные их, и различные арифметические операции, возведения в степени и т.д.
Первое такое уравнение системы мы нашли-

$( C_3 \cdot | S_1 - S_2 | \cdot (S_1'' \cdot | S_1 - S_2 | ^2 - C_2 ^2) ^ {-1/2} + S_1 ) = ( C_3 \cdot | S_1 - S_2 | \cdot (S_2'' \cdot | S_1 - S_2 | ^2 - C_1 ^2) ^ {-1/2} + S_2 )$ ,

Выписать второе, посложнее, так как мы не только должны подставить вместо $S_3$, выражение с $S_1 , S_2$ ,
а ещё и вычислить вторую производную, т.е. $S''_3$, и вместо неё тоже подставить выражение с $S_1 , S_2$
(в нерассмотренное выше 3-е уравнение системы) .

В итоге будем иметь систему из 2 дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями,
$S_1 , S_2$ .
Но дальше неясно- как выразить $S_1$ через выражение содержащее только $S_2$ (либо наоборот).
Тогда мы получили бы одно дифференциальное уравнение, для нахождения функции с 1 переменной.
Это уравнение может и не иметь аналитических решений, но тут выходит, его и составить для плоской
задачи движения трёх тел нельзя. (минимальная система содержит 2 уравнения).

Можно попробовать рассмотреть более простые случаи, например когда массы всех трёх тел равны, и т.п.
тогда может, и удалось бы получить одно дифференциальное уравнение для решения, а не систему из
уравнений,

-- Пн дек 02, 2024 19:47:33 --

drzewo в сообщении #1663464 писал(а):

Нет

Если "нет", т.е. что то неверно в составлении уравнений, то где то ошибка в этом составлении.
Я не вижу, где мои рассуждения в первом посте, содержали бы ошибки.
Три тела, движутся на плоскости, рассматривал силы и ускорения, как вторые производные от искомых функций.

drzewo в сообщении #1663464 писал(а):

учебник почитать

Читал, не так всё просто. Столетиями пытались решить задачу трёх тел, и только потом доказали что
в общем случае не решается. Так что задача не из простых.
Я хочу научиться понимать, как правильно составлять дифференциальные уравнения для разных задач.
А просто выписать что-то готовое из учебника- ну будет 12 или более уравнений в системе,
как это проанализировать? Потому я решил упростить задачу- чтобы уравнений в системе было
минимальное количество, я и рассматриваю комплексные функции, принимающие вещественный аргумент.
Вещественный аргумент такой функции - время $t$, а функция может возвращать
комплексное число, действительная и мнимая части которого, и есть наши координаты на плоскости,
где тело (как материальная точка) находится в этот момент времени.

[Утундрий]

И в чём смысл этой самобытной деятельности?

[Skipper]

1) научиться понимать, как правильно составлять дифференциальные уравнения для разных задач,
2) упростить понимание плоской задачи движения трёх тел, и понять например, при каких исходных данных,
можно всё таки найти аналитическое решение? (а такие случаи точно есть),

[Утундрий]

А всё, что понаделано человечеством на данную тему мы принципиально игнорируем?

[Skipper]

Что я игнорирую? Можно взять учебник с лекциями, и ничего самому не решать.
Теория без практики- даст слабое понимание. А можно решать задачи, в том числе и те, которые
в учебнике с практическими задачами, где само решение не дано. А можно свои задачи составлять,
и решать их для понимания.
По сути, я пока просто систему дифференциальных уравнений правильную хочу составить, в предположении,
что функции нахождения точки на плоскости- просто комплексные функции.

[Утундрий]

Ладно, а почему это нужно выкладывать здесь? Вам нужна оценка или подсказка или что вам вообще нужно? Оценку вам уже выставили: вы занимаетесь какой-то бредовой ерундой. Подсказку тоже дали: прийти, наконец, в себя и раскрыть учебники. Чем ещё форум может помочь?

[Skipper]

Утундрий в сообщении #1663472 писал(а):

раскрыть учебники

Не встречал в учебниках, такой постановки данной задачи- получить систему дифференциальных уравнений в предположении,
что функции нахождения точки на плоскости- просто комплексные функции.
А такие функции как мне кажется, должны существовать, не вижу причин, почему их не может быть.

-- Пн дек 02, 2024 20:14:46 --

Утундрий в сообщении #1663472 писал(а):

подсказка

Подсказки нету, 1) должны ли существовать подобные функции, мне никто не написал.
2) если у меня где то ошибка в составлении уравнений, то её тоже никто не указал.
("только общие рекомендации типа "читай учебники", ибо у тебя тут где-то и почему-то неверно..").

[Утундрий]

Ну, продолжайте бредить дальше ..

[Skipper]

Утундрий в сообщении #1663472 писал(а):

Чем ещё форум может помочь?

вопрос был:

Skipper в сообщении #1663444 писал(а):

Правильно я составил систему уравнений для 3-х движущихся тел?

Совсем по-простому: функция
$S(t)$ возвращает комплексное число, от вещественного аргумента $t$ , определяющий момент времени.
Действительная часть этого комплексного числа - первая координата тела (как материальной точки) на плоскости, мнимая часть- вторая координата. Правомерно ли рассматривать такие функции применительно к задачам движения тел на плоскости?