Неопределенный интеграл

[Ёж]

Задача. Найти интеграл $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$.

Решение. $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=-\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right|+C$.

Данный интеграл можно найти с помощью заменены переменной. Но если не применять замену переменной, то верно ли решение?

[nnosipov]

Ёж в сообщении #1663111 писал(а):

Задача. Найти интеграл $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$.

Решение. $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=-\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right|+C$.

Если бы я получил такой текст решения, я бы спросил: на каком основании поставлен последний знак равенства? Ибо никаких комментариев в решении на этот счет нет.

[Утундрий]

nnosipov в сообщении #1663112 писал(а):

на каком основании поставлен последний знак равенства?

Табличный интеграл.

[RIP]

Ёж в сообщении #1663111 писал(а):

$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}$

При $x<0$ это неверно.

[TOTAL]

Ёж в сообщении #1663111 писал(а):

Данный интеграл можно найти с помощью заменены переменной.

Какой замены переменных?
(В приведённом решении как раз есть неявная замена переменной.)

[Ёж]

RIP в сообщении #1663117 писал(а):

Ёж в сообщении #1663111 писал(а):

$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}$

При $x<0$ это неверно.

Вопрос возник как раз из-за этого. Т.е. здесь нужно рассмотреть два случая?
$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}} $ , при $x>0$

$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}} $ , при $x<0$

[nnosipov]

Утундрий в сообщении #1663114 писал(а):

Табличный интеграл.

Нет.

[RIP]

Ёж в сообщении #1663131 писал(а):

Т.е. здесь нужно рассмотреть два случая?

Да. Можно объединить одной формулой

$$-\operatorname{sgn}(x)\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\,\right)+C=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{\lvert x\rvert}\right)+C.$$

Здесь используется тождество

$$-\ln\left\lvert x+\sqrt{x^2+A}\,\right\rvert=\ln\left(-x+\sqrt{x^2+A}\,\right)+B,\quad x<0,$$

где $B=-\ln\lvert A\rvert=\mathrm{const}$. (Если $A<0$, то $x\leqslant-\sqrt{\lvert A\rvert}$.)

-- Чт 2024-11-28 19:32:35 --

nnosipov в сообщении #1663138 писал(а):

Утундрий в сообщении #1663114 писал(а):

Табличный интеграл.

Нет.

Частенько его включают в число табличных. Скажем, в Демидовиче это табличный интеграл.

[Утундрий]

Вообще, выносить из-под корня нужно честно: $\sqrt{x^2}=|x|$. Тогда и проблем не будет.

[Ёж]

Спасибо большое за ответы!