Помогите, пожалуйста, с теорией вероятностей (СРОЧНО)

[Jonnik]

Помогите пожалуйста найти пример задачки, который бы иллюстрировал, что слабая сходимость выполняется, а сходимость по вероятности - нет. То есть, что со слабой сходимости не вытекает сходимость по вероятности.

[--mS--]

Приведите ваше определение слабой сходимости.

[Jonnik]

Я нашел такое:
последовательность вероятностных мер {Pn} называется слабо сходящейся к вероятностной мере Р, если интграл по Е[(f(x)Pn(dx))]->интграл по Е[(f(x)P(dx))] для любой функции f=f(x) из класса С(Е) непрерывных ограниченных функций на Е.[/math]

[--mS--]

Тогда какое вообще отношение это имеет к сходимости по вероятности? Сходимость по вероятности есть сходимость последовательности случайных величин. Слабая сходимость, согласно приведённому определению, есть сходимость последовательности вероятностных мер.

[Jonnik]

но ведь должно быть какое-то определение слабой сходимости для случайных величин?

[--mS--]

Так приведите. Пример-то Вы хотите строить исходя из каких определений? При любом определении слабая сходимость есть сходимость не случайных величин, а их распределений.

[Jonnik]

да, согласен. только что еще раз внимательно перечитал теорию....
просто у меня есть задача: показать, что в условиях ЦПТ последовательность (Sn-nMx1)/кор(nDx1) не сходится за вероятностью ни к какой случайной величине...
мне дали подсказку, что существует классический пример, где показано, что выполняется слабая сходимость, а по вероятности - нет. Если понять как это доказывается, то можно доказать и поставленную задачу. вот я и пытаюсь его найти...

[Azog]

книжка курс Теории вероятности Себастьянов.
Наглядная мат. статистика М.Б. Лагутин.

[--mS--]

У Вас последовательность случайных величин, чьи распределения слабо сходятся, уже дана. Отсутствие сходимости по вероятности для конкретной последовательности можно проверить. Попробуйте от противного, воспользовавшись тем, что последовательности $\dfrac{S_{n} -n \mathsf M X_1}{\sqrt{n\mathsf DX_1}}$ и $\dfrac{S_{2n} -2n \mathsf M X_1}{\sqrt{2n\mathsf DX_1}}$ должны тогда сходиться к одной и той же случайной величине, и получить отсюда противоречие, рассмотрев, куда по вероятности сходится величина $\dfrac{S_{2n} - S_n - n \mathsf M X_1}{\sqrt{2n\mathsf DX_1}}$.


P.S. 2Azog: Ничего про отсутствие сходимости по вероятности в ЦПТ, в книге Б.А.Севастьянова нет. Во второй, наверняка, тем более.

[Jonnik]

прошу прощения, а можно еще раз более подробно? мне нужно показать, что последовательность $\dfrac{S_{2n}-S_n - n\mathsf M X_1}{\sqrt{2n\mathsf DX_1}}$ не сходится по вероятности? тогда отсюда будет вытекать, что и $\dfrac{S_{n} - n\mathsf M X_1}{\sqrt{n\mathsf DX_1}}$ тоже не сходится?

[--mS--]

Выясните, куда эта дробь сходится по вероятности, если исходная последовательность сходится по вероятности.