Альтернирование тензора по трём индексам

[Dmitro]

Добрый день, Уважаемые специалисты.
Самостоятельно начинаю изучать тензорное исчисление. Решаю (пытаюсь решить) задачи из [1-2] и подобные им (думаю, литература [1-2] вполне приемлемая для данного этапа).
Я не математик по специальности, формулировки и обозначения могут быть не совсем корректными, заранее прошу прощения.
С симметрированием-альтернированием тензора второго ранга (или ранга больше 2) по двум индексам справляюсь. Поставил для себя задачу симметрировать и альтернировать тензор 3-го ранга в пространстве $\Lambda^2$ по всем (трем) индексам (все индексы ковариантные).
В литературе для такого случая находим (в разных способах записи) формулы:
$S_{i,j,k}=A_{(i,j,k)}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A2_{k,i,j}+A3_{j,k,i}+A4_{i,k,j}+A5_{j,i,k}+A6_{k,j,i})$
$K_{i,j,k}=A_{[i,j,k]}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A2_{k,i,j}+A3_{j,k,i}-A4_{i,k,j}-A5_{j,i,k}-A6_{k,j,i})$

Рассмотрим конкретный пример
0) имеем тензор А (задаемся)
$A_{i,j,k}=\left(\begin{array}{cccc}a_{111} & a_{121} & a_{112} & a_{122} \\ a_{211} & a_{221} & a_{212} & a_{222} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 7 & 8 \end{array}\right)$

1) находим 5 тензоров, транспонированных данному: $A2_{k,i,j}$, $A3_{j,k,i}$ - "четные" перестановки индексов;
$A4_{i,k,j}$,$A5_{j,i,k}$,$A6_{k,j,i}$ - "нечетные":

$A2_{k,i,j}=\left(\begin{array}{cccc}a_{111} & a_{112} & a_{211} & a_{212} \\ a_{121} & a_{122} & a_{221} & a_{222} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 5 & 3 & 7 \\ 2 & 6 & 4 & 8 \end{array}\right)$

$A3_{j,k,i}=\left(\begin{array}{cccc}a_{111} & a_{211} & a_{121} & a_{221} \\ a_{112} & a_{212} & a_{122} & a_{222} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 7 & 6 & 8 \end{array}\right)$

$A4_{i,k,j}=\left(\begin{array}{cccc}a_{111} & a_{112} & a_{121} & a_{122} \\ a_{211} & a_{212} & a_{221} & a_{222} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 5 & 2 & 6 \\ 3 & 7 & 4 & 8 \end{array}\right)$

$A5_{j,i,k}=\left(\begin{array}{cccc}a_{111} & a_{211} & a_{112} & a_{212} \\ a_{121} & a_{221} & a_{122} & a_{222} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{array}\right)$

$A6_{k,j,i}=\left(\begin{array}{cccc}a_{111} & a_{121} & a_{211} & a_{221} \\ a_{112} & a_{122} & a_{212} & a_{222} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{array}\right)$

2) Cимметричный тензор (получились иррациональные числа)
$S_{i,j,k}=\frac{1}{6}(A+A2+A3+A4+A5+A6)=\left(\begin{array}{cccc}1.00 & 3.33 & 3.33 & 5.66 \\ 3.33 & 5.66 & 5.66 & 8.00 \end{array}\right)$
(и симметрия действительно наблюдается)

3) Антисимметричный тензор
$K_{i,j,k}=\frac{1}{6}(A+A2+A3-A4-A5-A6)=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Получили $K=0$. Не удивительно, ведь $A+A2+A3=A4+A5+A6$ т.к. каждый элемент суммарного тензора (в левой и правой части) есть сумма всех (у нас трёх) элементов, по индексам которых производилось транспонирование. Хотя в результате должны иметь
$K=A-S=\left(\begin{array}{cccc}0.00 & -1.33 & 1.66 & 0.33 \\ -0.33 & -1.66 & 1.33 & 0.00 \end{array}\right)$

Подскажите пожалуйста, как получить правильный $K$ исходя из $A,A2,A3,A4,A5,A6$?
Прошу прощения за длинное и, может быть, слишком подробное изложение вопроса.

Литература: 1) Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления.
2) Н.И. Кованцов, Г.М. Зражевская и др. Диф.геометрия, топология, тензорный анализ.
3) электронные материалы авторов Умнова А.Е., Шарипова Р.А., Жилина П.А.

[zoo]

Dmitro в сообщении #162437 писал(а):

С симметрированием-альтернированием тензора второго ранга (или ранга больше 2) по двум индексам справляюсь. Поставил для себя задачу симметрировать и альтернировать тензор 3-го ранга в пространстве $\Lambda^2$ по всем (трем) индексам (все индексы ковариантные).
В литературе для такого случая находим (в разных способах записи) формулы:
$S_{i,j,k}=A_{(i,j,k)}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A2_{k,i,j}+A3_{j,k,i}+A4_{i,k,j}+A5_{j,i,k}+A6_{k,j,i})$
$K_{i,j,k}=A_{[i,j,k]}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A2_{k,i,j}+A3_{j,k,i}-A4_{i,k,j}-A5_{j,i,k}-A6_{k,j,i})$

мне например, уже непонятно, что это такое A2 A4 --?
и еще через $\Lambda^2$ обычно обозначают пространство коваринтных двухвалентных кососимметрических тензоров, откуда оно у Вас появилось тоже не ясно

[Dmitro]

Спасибо за внимание к теме.
Да вы правы. Правильная запись
$S_{i,j,k}=A_{(i,j,k)}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A_{k,i,j}+A_{j,k,i}+A_{i,k,j}+A_{j,i,k}+A_{k,j,i})$
$K_{i,j,k}=A_{[i,j,k]}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A_{k,i,j}+A_{j,k,i}-A_{i,k,j}-A_{j,i,k}-A_{k,j,i})$
Прошу прощения, некорректно ввел новые обозначения. Обозначим:
$A=A_{i,j,k}$
$A2=A2_{k,i,j}=A_{k,i,j}$
$A3=A3_{j,k,i}=A_{j,k,i}$
$A4=A4_{i,k,j}=A_{i,k,j}$
$A5=A5_{j,i,k}=A_{j,i,k}$
$A6=A6_{k,j,i}=A_{k,j,i}$
и далее оперируем $A,A2,A3,A4,A5,A6$. Может не совсем корректные обозначения и не стоило вводить дополнительные тензоры, но мне кажется что так удобнее, чтобы далее не запутаться с индексами. Соответственно в новых обозначениях получим
$S=\frac{1}{3!}(A+A2+A3+A4+A5+A6)$
$K=\frac{1}{3!}(A+A2+A3-A4-A5-A6)$.
И на счет $\Lambda^2$ конечно погорячился. Хотел сказать, что каждый индекс принимает два значения (1 и 2). В смысле тезнор $A$ задан в двумерном пространстве.
Извините за неточности.

[Dmitro]

Появились некотрые соображения.
Можно пойти от обратного: найдем $K$ из выражения $K=A-S$. Итак
$K=A-S=\frac{1}{6}(6A-6S)=$
$=\frac{1}{6}((A-A)+(A-A2)+(A-A3)+(A-A4)+(A-A5)+(A-A6))=$
$=\frac{1}{6}((A-A2)+(A-A3)+(A-A4)+(A-A5)+ (A-A6))$.
Но если по правилу это должно быть равно
$K=\frac{1}{6}(A+A2+A3-A4-A5-A6)$
получим
$(A-A2)+(A-A3)+(A-A4)+(A-A5)+(A-A6)=$
$=A+A2+A3-A4-A5-A6$;
Тогда для соблюдения равенства тензоры должны соотноситься так
$(A-A2)+(A-A3)+A+A=A2+A3$;
$4\cdot A = 2\cdot A2+2\cdot A3$.
Возможно последнее выражение это условие при котором можно найти антисимметричный тензор? Но тогда получается, что альтернировать по 3-м индексам можно не любой тензор? Вообще есть подозрение, что альтернировать можно только по четному количеству индексов. Но тогда как же быть с формулами для трех индексов, которые приводятся в учебниках?
Проясните пожалуйста, эту операцию альтернирования. Может я где-то глобально заблуждаюсь.

[zoo]

мне не понятна суть Вашего вопроса. У Вас уже выписана верная формула

Dmitro в сообщении #162658 писал(а):

$A_{[i,j,k]}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A_{k,i,j}+A_{j,k,i}-A_{i,k,j}-A_{j,i,k}-A_{k,j,i})$

Справа стоит тензор, который является результатом альтернирования тензора $A$.
Обозначьте этот новый тензор за $B_{ijk}$
$B_{ijk}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A_{k,i,j}+A_{j,k,i}-A_{i,k,j}-A_{j,i,k}-A_{k,j,i})$
Эту формулу надо воспринимать непосредственно. И не пишите никаких матриц для тензоров ранга >2 и не вводите никаких дополнительных обозначений типа A1 это все от лукавого и только сбивает Вас с толку

[Dmitro]

Спасибо за совет. Конечно, матричная форма записи тензора громоздкая и не совсем удобная.
На то он и тензор, чтобы его элементы не «вписывать» в таблички.
Извините за назойливость. Не совсем понял, как это воспринимать непосредственно.
Попытаюсь сформулировать вопрос на конкретном примере в моем понимании непосредственного восприятия.
Пусть имеем тензор ранга 3 в пространстве размерности 2 $A_{ijk}$ с такими элементами:
$A_{111}=1$, $A_{121}=2$
$A_{211}=3$, $A_{221}=4$
$A_{112}=5$, $A_{122}=6$
$A_{212}=7$, $A_{222}=8$

Найдем, например, элемент альтернированного тензора $A_{[ijk]}= B_{ijk}$
с $i=1$, $j=1$, $k=2$ то есть $A_{[112]}= B_{112}$.
Записав формулу
$B_{ijk}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A_{k,i,j}+A_{j,k,i}-A_{i,k,j}-A_{j,i,k}-A_{k,j,i})$
для наших $i,j,k$, получим
$B_{112}=\frac{1}{3!}(A_{112}+A_{211}+A_{121}-A_{121}-A_{112}-A_{211})=0$.
(Самое обидное, что получаем 0 для каждого элемента тензора $B_{ijk}).

С другой стороны, обозначим симметрированный тензор как $S_{ijk}= A_{(ijk)}$.
Найдем элемент $S_{112}$. По формуле
$S_{ijk}=\frac{1}{3!}(A_{i,j,k}+A_{k,i,j}+A_{j,k,i}+A_{i,k,j}+A_{j,i,k}+A_{k,j,i})$
получим
$S_{112}=\frac{1}{3!}(A_{112}+A_{211}+A_{121}+A_{121}+A_{112}+A_{211})=$
$=\frac{1}{6}(5+3+2+2+5+3)=\frac{20}{6}=3.33$

Но зная, что для каждого элемента должно соблюдаться
$A_{ijk}=A_{(ijk)}+A_{[ijk]}=S_{ijk}+B_{ijk}$
определим элемент $B_{112}= A_{112}-S_{112}=5-3.33=1.66$
Но ведь ранее получили $B_{112}=0$.
Результаты не сходятся. Подскажите пожалуйста, где я заблуждаюсь.

[zoo]

Dmitro в сообщении #165681 писал(а):

(Самое обидное, что получаем 0 для каждого элемента тензора $B_{ijk}).

было бы обидно, если б получили что-то другое любой кососимметричечский тензор ранга большего размерности пространства равен нулю

Dmitro в сообщении #165681 писал(а):

Но зная, что для каждого элемента должно соблюдаться
$A_{ijk}=A_{(ijk)}+A_{[ijk]}=S_{ijk}+B_{ijk}$

не должно это соблюдаться, вообще говоря.Только если ранг тензора 2 ,то соблюдается,(может ели ранг 1 тоже будет соблюдаться, посмотрите)

[Dmitro]

Спасибо!!! Я подозревал, что задача не естественная и, поэтому, пример и вопрос не корректные. Зато научился (как мне кажется) записывать тензор тензором (прошу прощения за каламбур).
Такая постановка общения действительно реализует просветительскую функцию сайта!
С тензорами я только начинаю знакомиться. Не могли бы Вы разъяснить некоторые вопросы, возникшие в связи с темой.
1) Существуют ли в природе объекты, свойства которых описываются тензором ранга большего, чем размерность пространства. Может тензор из приведенного выше примера вообще плод воображения и в «жизни» не «встречается».
2) "любой кососимметричечский тензор ранга большего размерности пространства равен нулю".
Означает ли это, что тензор, ранг которого больше размерности пространства (если в реальности такие существуют) должен быть симметричным (по всем индексам).
3) С тензором ранга 1, видимо не соблюдается, если считать $A_i=A_{(i)}=A_{[i]}$. Как-то тяжело представить альтернирование-симметрирование тензора ранга 1. Разве что только как перестановку местами элементов вектора.
4) Если отойти от чисто формального оперирования элементами тензора. Что характеризует антисимметричный тензор. В чем его геометрический (физический) смысл? (Или где об этом можно прочитать).

Понимаю, что ответы такие вопросы, я должен прочувствовать самостоятельно, но если вас не затруднит, напишите пожалуйста.
Еще раз Спасибо.

[zoo]

Dmitro в сообщении #166134 писал(а):

1) Существуют ли в природе объекты, свойства которых описываются тензором ранга большего, чем размерность пространства.

Тензор кривизны Римана 4-го ранга, но его можно рассматривать в трехмерном пространстве. Жесткая связь между размерностью пространства и рангом тензора имеется только в случае тензоров с дополнительной симметрией, кососимметрич. например

Dmitro в сообщении #166134 писал(а):

Может тензор из приведенного выше примера вообще плод воображения и в «жизни» не «встречается».

Встречаются всякие тензоры. На языке тензоров написана вся физика, поскольку с помощью понятия "тензор" формализуется независимость физических законов от систем координат в которых пишутся уравнения выражающие эти законы.

Dmitro в сообщении #166134 писал(а):

2) "любой кососимметричечский тензор ранга большего размерности пространства равен нулю".
Означает ли это, что тензор, ранг которого больше размерности пространства (если в реальности такие существуют) должен быть симметричным (по всем индексам).

нет

Dmitro в сообщении #166134 писал(а):

4) Если отойти от чисто формального оперирования элементами тензора. Что характеризует антисимметричный тензор. В чем его геометрический (физический) смысл? (Или где об этом можно прочитать).

если это ковариантный тензор то его геометрический смысл связан с k-мерным объемом
Читайте для начала Ефимова Розендорна Линейная алгебра и многомерная геометрия, потом Дубровина Новикова Фоменко Современная геометрия

[Dmitro]

Большое Вам спасибо. Вы мне очень помогли.