Вдогонку решение от ИИ.
Давайте подробнее разберем задачу.
### Постановка задачи
Для двух заданных матриц
и
одного размера необходимо найти ортогональную матрицу
, которая минимизирует норму Фробениуса разности:
### Ваш ход решения
Вы воспользовались сингулярным разложением (SVD), что является верным шагом для данной задачи. Сначала напомню определение нормы Фробениуса:
Теперь, если мы применим это к выражению
, то получим:
### Следующий шаг: применение SVD
Мы можем представить матрицы
и
через их сингулярные разложения. Рассмотрим сингулярное разложение матрицы
:
где:
-
и
— ортогональные матрицы,
-
— диагональная матрица, содержащая сингулярные значения матрицы
.
Теперь разложим
как:
Пусть матрица
также имеет сингулярное разложение:
### Минимизация нормы Фробениуса
Нам нужно минимизировать выражение:
Чтобы минимизировать это выражение, нам необходимо выбрать матрицу \( Q \), которая минимизирует норму разности
и
.
### Решение с использованием матрицы поворота
Из теоремы об ортогональной проксимальности (Procrustes problem), известно, что ортогональная матрица
, минимизирующая норму Фробениуса, может быть найдена с использованием сингулярного разложения матрицы произведения
. Рассмотрим следующую матрицу:
Пусть SVD разложения этой матрицы имеют вид:
Тогда оптимальная ортогональная матрица
, минимизирующая норму Фробениуса, задается как:
### Заключение
Таким образом, решение задачи сводится к вычислению SVD для матрицы
и построению ортогональной матрицы
, которая минимизирует норму Фробениуса разности
.