Сила действующая на парамагнитную частицу в магнитном поле

[GAA]

В книге Magnetic Cell Separation / Editors M. Zborowski, J. J. Chalmers. — Elsevier, 2008 [books.google.ru]
приводится без вывода в пятой главе (5.1. Magnetophoretic mobility, p. 106) выражение для силы, которая действует на парамагнитную частицу в магнитном поле

$$ \mathbf F = \Delta \chi V \nabla \left( \frac {B_0^2} {2 \mu_0}\right),$$

где $\Delta \chi =\chi_p - \chi_f$, $\chi_p$ — восприимчивость частицы, $\chi_f$ — восприимчивость среды (водный раствор); $V$ — объём частицы.
В тексте ссылка на главу 3, но в главе 3 ни вывода, ни ссылок на вывод я не нашёл.

Интересует вывод или ссылка на вывод этого выражения для силы (с $\Delta \chi$).

Ветка помещена в раздел Дт(Ф) поскольку я интересуюсь формулой из непроверенном временем источника и само выражение несколько противоречит как имеющимся в других источниках, так и моим представлениям о выражении для силы, которая действует на парамагнитную частицу. Если раньше была ветка с этой темой, пожалуйста, объедините. Я не нашёл.

[Theoristos]

Если засунуть $\Delta \chi V$ под градиент - будет что-то наподобие [добавочной] энергии магнитного поля при наличии частицы.

[amon]

GAA в сообщении #1656854 писал(а):

Интересует вывод или ссылка на вывод этого выражения для силы (с $\Delta \chi$).

Это выражение получается если тупо воспользоваться формулой для объемной плотности силы в однородных и изотропных магнетиках:
$f=\frac{\mu-1}{8\pi\mu}\nabla B^2$ (в СГС).
IMHO, это ошибочная формула. Она не учитывает зависимости поля внутри частицы от ее формы даже для сферической частицы. Подробности позже, когда время появится.

[peregoudov]

GAA в сообщении #1656854 писал(а):

Ветка помещена в раздел Дт(Ф) поскольку я интересуюсь формулой из непроверенном временем источника и само выражение несколько противоречит как имеющимся в других источниках, так и моим представлениям о выражении для силы, которая действует на парамагнитную частицу.

Какие-то неуклюжие оправдания... В ПРР и требовать самостоятельных попыток решения! --- как же подмывает написать что-нибудь подобное

Я думаю, формула правильная и годится для частицы любой формы в случае малой разности магнитных проницаемостей частицы и среды. А для сферической частицы можно, наверное, и точную формулу для любой проницаемости написать. Я когда-то забавлялся, пытаясь построить метод изображений для сферы в магнитном случае (фактически функцию Грина), там интересно выходит.

[amon]

GAA в сообщении #1656854 писал(а):

Интересует вывод

Видимо, прав peregoudov. Формула выводится так. Сила, действующая на точечный диполь, равна (в компонентах векторов в декартовых координатах)
$f_i=m_k \partial_i B_k,$
$m_k$ - $k$-я компонента магнитного момента, по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Сила, действовавшая на кусочек среды, который заместила частица, равна
$F_i=\int dV M_k \partial_i B_k=\int dV \chi H_k \partial_i B_k=\int dV \chi \frac{\nabla B^2}{2\mu}.$
Если считать, что $\nabla B^2$ слабо меняется на размерах частицы, то получится, что сила, действующая на кусочек жидкости равна
$\mathbf{F}=V \chi \frac{\nabla B^2}{2\mu}.$
Поскольку жидкость в равновесии, со стороны среды на этот кусочек действует такая же сила с обратным знаком.
Если теперь вместо жидкости вставить частицу, то надо выполнить те же расчеты, только поле надо считать с учетом формы и магнитной проницаемости частицы. Однако, для "нормальных" диа- и парамагнетиков $\mu$ очень мало отличается от единицы. Поэтому для них можно с хорошей точностью написать
$ \mathbf F = \Delta \chi V \nabla \left( \frac {B_0^2} {2 \mu_0}\right)$
если градиент поля мало меняется на размерах частицы.