инвариантность и ковариантность

[drzewo]

Затеваем терминологический спор.

amon в сообщении #1656253 писал(а):

Вы путаете инвариантность с ковариантностью. Уравнения Ньютона ковариантны относительно преобразований Галлилея. Это означает, что уравнения движения сохраняют свой вид при таких преобразованиях, но решение в одних координатах не переходит в такое же решение в других. Кинетическая энергия инвариантна относительно поворотов и параллельных переносов (скаляр относительно подгруппы группы преобразований Галлилея), но ковариантна относительно переходов в другую движущуюся систему отсчета.

Это противоречит тому, что написано в <<Мат. методах>> Арнольда:
Уравнения движения замкнутой механической системы в ИСО инвариантны относительно группы Галилея.
Там под инвариантностью уравнений Ньютона подразумевается инвариантность дифференциальных уравнений относительно группы так как это обычно понимают в дифференциальных уравнениях.
И, да, если дифференциальное уравнение инвариантно относительно группы, то группа переводит решения в решения, в смысле, одно решение в другое решение.
А ковариантность это, по моему, просто свойство вариационной производной преобразовываться по ковариантному закону.
В этом смысле ковариантность не накладывает ограничений на лагранжиан, а инвариантность накладывает.

[amon]

drzewo в сообщении #1656755 писал(а):

Это противоречит тому, что написано в <<Мат. методах>> Арнольда:

Я боюсь, что тут терминологическая разница между физиками и математиками. Меня учили так:

А.Н. Васильев в <<Классическая электродинамика>> писал(а):

Математическим выражением принципа относительности является свойство ковариантности основных законов механики по отношению к преобразованиям Галлилея. Под "ковариантностью" понимается следующее: все входящие в формулы величины обладают определенными трансформационными свойствами по отношению к рассматриваемым преобразованиям и обе части выражающих эти законы равенств преобразуются одинаково, поэтому из справедливости равенства в одной инерциальной системе отсчета автоматически следует, что это равенство будет справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчета, как и требует принцип относительности.

Физикам это нужно для того, чтобы различать величины, которые не меняются при некоторых преобразованиях и величины меняющиеся, но подчиняющиеся тем же уравнениям. Например, уравнения Максвелла ковариантны к преобразованиям группы Лоренца, но инвариантны относительно калибровочных преобразований, поскольку последние не меняют величины наблюдаемых полей.

[drzewo]

Да уж. Формулы писать надо, только тогда становится понятно. Арнольд их пишет.

[sergey zhukov]

Ковариантны уравнения, а инвариантны величины.

[Утундрий]

Ковариантность есть форминвариантность относительно произвольных допустимых преобразований координат.

[пианист]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1656772 писал(а):

Например, уравнения Максвелла ковариантны к преобразованиям группы Лоренца, но инвариантны относительно калибровочных преобразований, поскольку последние не меняют величины наблюдаемых полей.

УМ без правых частей еще инверсии допускают.
Прошу прощения, если это мимо темы.
upd
Группа Лоренца это изометрии интервала, а УМ сохраняют и конформные, которых больше.

[reterty]

Есть у меня подозрение что законы Ньютона И инвариантны И ковариантны относительно преобразований Галилея. Просто, если какое-то выражение инвариантно относительно группы преобразований, то оно автоматически и ковариантно. Обратное не всегда верно. Впрочем, я могу ошибаться...

[VanD]

Возможно, стоит ещё упомянуть про разницу между инвариантностью отдельного уравнения и инвариантностью класса уравнений относительно группы. Второй закон Ньютона -- это класс уравнений с разными правыми частями. Группа, преобразующая любые уравнения из класса в уравнения из того же класса -- это его группа эквивалентности. Это вроде как раз случай группы Галилея (если запретить физически очевидные растяжения). Может в этом замечании есть что-то про разницу между инвариантностью и ковариантностью в том смысле. Но сам я его не до конца понимаю, честно говоря.

Вообще термин ковариантность как будто перегружен близкими смыслами. Помимо вот этой обсуждаемой Галилеевой ковариантности (или её аналогов), есть ещё общая ковариантность и ковариантность уравнений/теорий. Ковариантность уравнений проще объяснить на примере Максвелла с нулевой правой частью. Ковариантные уравнения Максвелла -- это, например,

$$ d\ast d A = 0. $$

Здесь дело скорее даже не в том, что эта форма записи не зависит от выбора координат (на самом деле она имеет смысл и бескоординатно). В этой записи уравнений не участвуют дополнительные структуры, связанные (явно или неявно) с выбором слоения гиперповерхностей на пространстве-времени (его слои играли бы роль мгновенных экземпляров пространства, вынуждая уважающих его занимать точку зрения кого-то типо наблюдателя, знающего как минимум про одновременность, если уж не про время). Можно переписать эти же уравнения в гамильтоновой форме. В координатах там явно будет выпирать выделенная роль времени. Но ту же гамильтонову форму уравнений в конечном итоге можно воспроизвести бескоординатно, стартуя с $d\ast d A = 0$. Для этого и придётся сказать, какое (инволютивное) распределение гиперплоскостей на пространстве-времени мы выбираем.

Может ковариантность в общем случае можно понимать как отсутствие предвзятости в виде наблюдателя-любимчика. А остальной контекст -- рассказ о том, с каким классом систем отсчёта мы работаем или вроде того. Это всё равно про инвариантность по идее, но в специфических обстоятельствах.

[Theoristos]

Утундрий в сообщении #1656785 писал(а):

Ковариантность есть форминвариантность относительно произвольных допустимых преобразований координат.

(Оффтоп)

... относительно преобразовантности координантности.

[drzewo]

VanD в сообщении #1656918 писал(а):

Второй закон Ньютона -- это класс уравнений с разными правыми частями. Группа, преобразующая любые уравнения из класса в уравнения из того же класса -- это его группа эквивалентности. Это вроде как раз случай группы Галилея

Группа Галилея преобразует уравнение в уравнение, а не в другое уравнение из того же класса.

[Red_Herring]

Для полного счастья не хватает только ввести контравариантность и обсудить, чем она отличается от инвариантности и ковариантности.

[drzewo]

Есть один академик, который пишет статьи о том, что Арнольд неправильно понимал принцип Галилея, путал инвариантность с ковариантностью, и что Галилей тоже неправильно понимал, а вот только он этот самый академик понимает правильно.

[Geen]

Инвариантность это сохранение между системами отсчёта, а ковариантность - между системами координат.
Не благодарите

[VanD]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1656933 писал(а):

Группа Галилея преобразует уравнение в уравнение, а не в другое уравнение из того же класса.

Да, Вы правы, с Галилеем я погорячился.

[waxtep]

Geen в сообщении #1656996 писал(а):

Инвариантность это сохранение между системами отсчёта, а ковариантность - между системами координат.
Не благодарите

Еще считается, что мужчины довольно инвариантны, а женщинам иногда свойственна крайняя ковариантность...