Возможно, стоит ещё упомянуть про разницу между инвариантностью отдельного уравнения и инвариантностью класса уравнений относительно группы. Второй закон Ньютона -- это класс уравнений с разными правыми частями. Группа, преобразующая любые уравнения из класса в уравнения из того же класса -- это его группа эквивалентности. Это вроде как раз случай группы Галилея (если запретить физически очевидные растяжения). Может в этом замечании есть что-то про разницу между инвариантностью и ковариантностью в том смысле. Но сам я его не до конца понимаю, честно говоря.
Вообще термин ковариантность как будто перегружен близкими смыслами. Помимо вот этой обсуждаемой Галилеевой ковариантности (или её аналогов), есть ещё общая ковариантность и ковариантность уравнений/теорий. Ковариантность уравнений проще объяснить на примере Максвелла с нулевой правой частью. Ковариантные уравнения Максвелла -- это, например,

Здесь дело скорее даже не в том, что эта форма записи не зависит от выбора координат (на самом деле она имеет смысл и бескоординатно). В этой записи уравнений не участвуют дополнительные структуры, связанные (явно или неявно) с выбором слоения гиперповерхностей на пространстве-времени (его слои играли бы роль мгновенных экземпляров пространства, вынуждая уважающих его занимать точку зрения кого-то типо наблюдателя, знающего как минимум про одновременность, если уж не про время). Можно переписать эти же уравнения в гамильтоновой форме. В координатах там явно будет выпирать выделенная роль времени. Но ту же гамильтонову форму уравнений в конечном итоге можно воспроизвести бескоординатно, стартуя с

. Для этого и придётся сказать, какое (инволютивное) распределение гиперплоскостей на пространстве-времени мы выбираем.
Может ковариантность в общем случае можно понимать как отсутствие предвзятости в виде наблюдателя-любимчика. А остальной контекст -- рассказ о том, с каким классом систем отсчёта мы работаем или вроде того. Это всё равно про инвариантность по идее, но в специфических обстоятельствах.