2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:10 
Аватара пользователя


20/02/12
161
Здравствуйте! Не могу одолеть задачу 1411 б) из Демидовича, может кто-нибдуь помочь? Вот такая формулировка:

Считая $| x |$ малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:
$$(\frac{1+x}{1-x})^{1/3} - (\frac{1-x}{1+x})^{1/3}$$

Тут тема разложения функций в ряд Тейлора, поэтому я попробовал вначале это преобразовать до дроби и потом загнать под логарифм. Далее попытался разложить в ряд Телора, но под логарифмами функция не определена, если $x<0$, то есть видимо какой-то другой метод нужен. Вот так это выглядит:
Изображение
Тут я в 3-ей строке разложил в ряд Тейлора последнее слагаемое, в последней разложил в ряд Тейлора выражения под логарифмами. В иоге видно, что у первого логарифма выражение отрицательное при $x<0$, у второго логарифма вообще всегда отрицательное...

Как сделать правильно? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Что такое простая формула для этого выражения?
Например, подойдёт $4x/3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
При чём тут логарифмы, если все алгебраические функции и так можно раскладывать в ряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Разность кубов просматривается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 19:01 


11/07/16
10/11/24
825
$\frac{4 x}{3}+\frac{44 x^3}{81}+\frac{268 x^5}{729}+O\left(x^6\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение21.09.2024, 20:22 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
Функция нечетная, поэтому разложение в ряд должно содержать лишь нечетные степени $x$.
Ее можно представить в виде:$$f(x)=(1+p)^{\frac 13}-(1-s)^{\frac 13}\eqno (1), p=\frac {2x}{1-x},s=\frac {2x}{1+x}$$$x$ предполагается малым, поэтому $p,s$ тоже малы. Разлагаем слагаемые в (1) в биномиальные ряды по $p,s$. Дальше нужно понять, от каких степеней $p,s$ возникают слагаемые порядка $x,x^3$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение22.09.2024, 15:53 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Есть простая волшебная формула, которая основывается как раз на ряде Тейлора:

Если $|x| \ll 1$, то $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$.
С записью остатка: $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x + o(x)$

Вот и применяем её к исходному выражению:

$(\frac{1+x}{1-x})^{1/3} - (\frac{1-x}{1+x})^{1/3} \approx (1+1/3 x)(1+1/3 x) - (1-1/3 x)(1-1/3 x)$

Раскрываем скобки, вычеркиваем слагаемые с порядком малости больше единицы и получаем ответ.

Ежели нужно получить члены с бОльшим порядком малости, то да, надо в честный ряд Тейлора раскладывать до нужной степени.

-- 22.09.2024, 15:58 --

TOTAL в сообщении #1655477 писал(а):
Что такое простая формула для этого выражения?

ТС переписал задание дословно.
ИМХО, подойдёт самая простая формула.
TOTAL в сообщении #1655477 писал(а):
Например, подойдёт $4x/3$?

Именно такой ответ и ожидается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 16:17 
Аватара пользователя


20/02/12
161
mihiv в сообщении #1655495 писал(а):
Функция нечетная, поэтому разложение в ряд должно содержать лишь нечетные степени $x$.
Ее можно представить в виде:$$f(x)=(1+p)^{\frac 13}-(1-s)^{\frac 13}\eqno (1), p=\frac {2x}{1-x},s=\frac {2x}{1+x}$$$x$ предполагается малым, поэтому $p,s$ тоже малы. Разлагаем слагаемые в (1) в биномиальные ряды по $p,s$. Дальше нужно понять, от каких степеней $p,s$ возникают слагаемые порядка $x,x^3$ и т.д.


Извините, но не понял вашего способа. Я попытался что-то сделать, получилось так:
1. Разложил в ряд Тейлора 2 слагаемых: $(1+p)^{\frac 13}-(1-s)^{\frac 13}$, получил:
$$(1 + \frac{1}{3}p - \frac{2^2}{3^2} p^2 + \frac{10}{3^3 \cdot 3!}p^3 + ...) - (1 + \frac{1}{3}s - \frac{2^2}{3^2} s^2 + \frac{10}{3^3 \cdot 3!}s^3 + ...) = \frac{1}{3} (p - s) - \frac{2^2}{3^2}(p^2 - s^2) + \frac{10}{3^2 \cdot 3!} (p^3 - s^3) ...$$
2. В нашем ряду должны оставаться только слагаемые с нечётными степенями, а остальные обнуляться, такое возможно только при $p = a, s = -a$ или $p = -a, s = a$, где $a \in \mathbb{R}$
3. Воспользовавшись п.2 и : $a = p = \frac {2x}{1-x}$ и $-a = s = \frac {2x}{1+x}$ можно составить уравнение: $0 = \frac {2x}{1-x} + \frac {2x}{1+x}$
4. Вследствии п.3 получаем такое уравнение $\frac{4x}{(1 - x^2)} = 0$, но оно нам только говорит о том, что $x$ должен быть равен 0, чтобы наше разложение было корректным, а нас это явно не устраивает, мы же хотим выбирать произвольный $x$, я неправильно понял метод?

EUgeneUS в сообщении #1655570 писал(а):
Вот и применяем её к исходному выражению:

$(\frac{1+x}{1-x})^{1/3} - (\frac{1-x}{1+x})^{1/3} \approx (1+1/3 x)(1+1/3 x) - (1-1/3 x)(1-1/3 x)$


Извините, но тоже не понял как у вас получилось это уравнение? :cry: Я сделал подстановку в числителе и в знаменателе: $\frac{1+1/3 x}{1-1/3x} - \frac{1- 1/3 x}{1+ 1/3 x} \approx (1+1/3 x)(1+1/3 x) - (1-1/3 x)(1-1/3 x)$, но к правильному ответу эта подстановка не приводит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 17:56 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Verbery в сообщении #1656278 писал(а):
Извините, но тоже не понял как у вас получилось это уравнение? :cry:

Не очень понимаю, в чём ваше затруднение. Может быть в этом:

$$\frac{1}{(1-x)^{1/3}} = (1-x)^{- 1/3} \approx 1- (-1/3) \cdot x = 1 + (1/3) x $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Последнее "равенство" симптоматично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 18:34 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Утундрий

(Оффтоп)

Бггг. ОК, поправил.
Всё никак не могу привыкнуть, что Латех пробелы удаляет, включая нужные пробелы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 19:00 
Аватара пользователя


20/02/12
161
EUgeneUS в сообщении #1656299 писал(а):
Не очень понимаю, в чём ваше затруднение. Может быть в этом:

$$\frac{1}{(1-x)^{1/3}} = (1-x)^{- 1/3} \approx 1- (-1/3) \cdot x = 1 + (1/3) x $$


Ох ты ж :facepalm: Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Verbery
Про разность кубов подумайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 19:47 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Утундрий в сообщении #1656331 писал(а):
Про разность кубов подумайте.


Через разность кубов у меня получилось прийти к ответу вообще без дифференцирования.
Но задача из темы "ряд Тейлора" :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить 1411 из Демидовича
Сообщение27.09.2024, 20:02 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
mihiv в сообщении #1655495 писал(а):
Дальше нужно понять, от каких степеней $p,s$ возникают слагаемые порядка $x,x^3$ и т.д.

Рассмотрим,например, член ряда порядка $x^3$.
Вклад от $p$ в первой степени находим так: $p=\frac {2x}{1-x}=2x(1+x+x^2+\dots )$Следовательно вклад от $p$ равен $2x^3$.(Это еще нужно умножить на коэффициент $\frac 13$перед $p$ в ряду Тейлора)
Аналогично находим вклад порядка $x^3$от $p^2:p^2=4x^2\frac 1{(1-x)^2}=4x^2\left (\frac 1{1-x})'=4x^2(1+2x+\dots ).$Следовательно, вклад порядка $x^3$ равен $8x^3$
Будет еще вклад от $p^3$, а остальные слагаемые в разложении по $p$ вклада не дают, т.к. они порядка $o(x^3)$.
Кстати, в разложении в ряд по $p$ и $s$ у вас ошибка. Должно быть $1+\frac 13p-\frac 19p^2+\dots, 1-\frac 13s-\frac 19s^2$
А в общем получается довольно громоздко, если нужны степени $x$ выше первой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group