Диагональный метод Кантора. 2 неясных момента.

[derFremde]

Момент первый:
КАНТОР рассуждает так: "Допустим противное, т.е. что множество X - счетно. Это, по определению, означает, что все его элементы можно занумеровать с помощью обычных конечных натуральных чисел."
Но ведь это означает, что Кантор считает, что элементы множества действительных чисел в принципе можно нумеровать, хотя бы некоторые из них, хотя бы одно из них. Но поскольку они ничем друг от друга не отличаются, значит, можно пронумеровать любое из них, но если можно пронумеровать любое, то, значит, можно пронумеровать и каждое, т.е. все. Ибо невозможно найти ни одного элемента такого множества, которые нельзя было бы пронумеровать. А отсюда вывод; либо действительные числа можно пронумеровать все, либо их невозможно нумеровать вовсе, то есть процедура нумерования к ним не применима.

Момент второй:
Если я не ошибаюсь бесконечные десятичные дроби прекрасно могут быть пересчитаны: первая дробь начинается с 9, и все последующие позиции заняты так же девятками, вторая получают на первой позиции восьмёрку, третья - семёрку, одиннадцатая получает на первых двух позициях 9 и 8. Ну, принцип понятен. Да очевидно, что десятичным дробям с бесконечным числом знаков, у которых имеются бесконечные 'хвостики' из девяток, отдётся предпочтение, но я очень предполагаю, что показать, что хоть какая-то дробь с бесконечным числом знаков таким образом не будет пересчитана, окажется невозможным.

[talash]

Когда говорят про множество всех действительных чисел, неявно подразумевают, что оно существует. Но это вопрос спорный. Некоторые математики считали, что такового множества не существует.

Я не математик, но интересуюсь научной методологией и историей науки и считаю, что такой спор должен был быть разрешён научно. Выработаны критерии, например, полезность. Группа математиков, поддерживающих канторизм, должна была обосновать полезность своего подхода другой группе математиков, своим оппонентам. Спокойно дискутировать, может быть годами и десятилетиями, развивать свой подход и обосновывать его полезность. А вместо этого началось метание какашками и выдавливание противников канторизма из отрасли. Очевидно, потому что сторонники канторизма имели больше власти.

[Sender]

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

А отсюда вывод; либо действительные числа можно пронумеровать все, либо их невозможно нумеровать вовсе, то есть процедура нумерования к ним не применима.

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

Это, по определению, означает, что все его элементы можно занумеровать с помощью обычных конечных натуральных чисел."

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

о я очень предполагаю, что показать, что хоть какая-то дробь с бесконечным числом знаков таким образом не будет пересчитана, окажется невозможным.

Какой номер будет у первого числа без хвостика из девяток?

[mihaild]

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

А отсюда вывод; либо действительные числа можно пронумеровать все, либо их невозможно нумеровать вовсе, то есть процедура нумерования к ним не применима

Я могу очень легко пронумеровать положительные вещественные числа с нулевой дробной частью. Попробуйте, может и у Вас получится.

talash в сообщении #1655866 писал(а):

что такой спор должен был быть разрешён научно

Этот спор давно разрешен. Ответ - большей части математики достаточно чего-то вроде неформальной ZFC. Разные другие подходы - от ультрафинитизма до теории категорий - тоже развиваются, но пока что ничего, что заинтересовало бы специалистов по интурам или дифгему, вроде бы не предложили.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: ничего дискуссионного в теме нет.

talash
Тема сменила раздел, и комментарии, подобные Вашему, здесь теперь неуместны. Обращаю внимание.

[talash]

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

Если я не ошибаюсь бесконечные десятичные дроби прекрасно могут быть пересчитаны: первая дробь начинается с 9, и все последующие позиции заняты так же девятками, вторая получают на первой позиции восьмёрку, третья - семёрку, одиннадцатая получает на первых двух позициях 9 и 8. Ну, принцип понятен.

Вы здесь пронумеровали все конечные десятичные дроби, а не бесконечные.

[tolstopuz]

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

Но поскольку они ничем друг от друга не отличаются, значит, можно пронумеровать любое из них,

Да, например, можно дать этому любому числу номер $1$.

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

но если можно пронумеровать любое, то, значит, можно пронумеровать и каждое, т.е. все.

Дать каждому числу номер $1$? Это не совсем то, что требуется.

[Евгений Машеров]

derFremde в сообщении #1655862 писал(а):

Но ведь это означает, что Кантор считает, что элементы множества действительных чисел в принципе можно нумеровать, хотя бы некоторые из них, хотя бы одно из них. Но поскольку они ничем друг от друга не отличаются, значит, можно пронумеровать любое из них, но если можно пронумеровать любое, то, значит, можно пронумеровать и каждое, т.е. все. Ибо невозможно найти ни одного элемента такого множества, которые нельзя было бы пронумеровать. А отсюда вывод; либо действительные числа можно пронумеровать все, либо их невозможно нумеровать вовсе, то есть процедура нумерования к ним не применима.

(Оффтоп)

Холостяк Вася полагает, что может (если захочет) жениться на любой девушке. А так как девушки ничем друг от друга не отличаются, то может жениться сразу на всех...

[Утундрий]

Очевидно, что каждая лошадь имеет одинаковую масть. Следовательно, любые две лошади тоже имеют одинаковую масть. Перебирая все пары, приходим к выводу, что все лошади одной масти.