Мое понимание решения этой PDE.

[Knight2023]

Данный PDE является следующим:

$$ au_x +bu_y =0 $$

Мое мышление:

1. LHS ищет производную по направлению

$$grad ~u(x,y) ~\cdot ~\vec{v} = \langle a, b \rangle$$

2. Поскольку эта производная по направлению всегда равна нулю, это означает, что $u(x,y)$ постоянна в направлении $\vec{v}$.

3. Это означает, что все кривые уровня (level curves) $u(x,y)$ перпендикулярны прямым $y= b/a x + c$.

4. Следовательно, кривые уровня (level curves) должно иметь следующее уравнение

$$ y = -a/b x + d \rightarrow ax + by = d$$

5. Если f - любая обратимая функция (invertible function), предполагать

$$ u(x,y) = f (ax + by)$$

это уравнение $u(x, y)$ удовлетворяет свойству кривой уровня, которое мы вывели выше, вот как:

$$ \text{на уровне k}~ \rightarrow k = f(ax+by) \rightarrow f^{-1} = d= ax+by$$

К сожалению, эта формулировка для $u(x,y)$ не удовлетворяет данному уравнению

$$ a ~\cdot \frac{ \partial f(ax+by)} { \partial x} = a^2 ~\cdot f'(ax+by)$$

$$ b ~\cdot frac{ \partial f(ax+by)}{\partial y} = b^2~ \cdot f'(ax+by)$$

И это не приводит к нулю.

Где была допущена ошибка в моем мыслительном процессе?

(Возникновение этой идеи связано с книгой Вальтера Штрауса)

[пианист]

Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):

производную по направлению

$$\operatorname{grad} ~u(x,y) ~\cdot ~\vec{v} = \langle a, b \rangle$$

Equality seems meaningless. What is LHS?
***
Just make a change of variables in the equation
$x = ax', y = bx' + y'$

[Red_Herring]

Вам нужно определить направления линий уровня.

[nnosipov]

пианист в сообщении #1651187 писал(а):

What is LHS?

Left hand side.

[пианист]

nnosipov
Понятно, спасибо.

[drzewo]

(Оффтоп)

Забавно. У ТС не возникает вопроса <<каков метод решения задач такого типа?>>, ему интересно, что бы нашли ошибку в его бредовом методе. Это то, почему невозможно научить самоучку.

[Knight2023]

пианист в сообщении #1651187 писал(а):

Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):

производную по направлению

$$\operatorname{grad} ~u(x,y) ~\cdot ~\vec{v} = \langle a, b \rangle$$

Equality seems meaningless. What is LHS?
***
Just make a change of variables in the equation
$x = ax', y = bx' + y'$

I just tried to be brief. I took the dot product of grad u with v, where v= <a,b>. Sorry if I was too brief to mislead.

-- 23.08.2024, 23:28 --

Red_Herring в сообщении #1651191 писал(а):

Вам нужно определить направления линий уровня.

Is there a way to do that within this working?

[Утундрий]

Здесь нужно решить задачу или здесь нужно решить задачу максимально извращённым образом? Мне трудно проигнорировать весь предыдущий опыт и не потянуться сразу же искать решение в виде $u=f(\alpha x+\beta y)$.

Is the task here to solve the problem, or is it to solve the problem in the most convoluted way possible? It's hard for me to ignore all my previous experience and not immediately reach for a solution in the form of $u=f(\alpha x+\beta y)$.

[Knight2023]

Утундрий в сообщении #1651220 писал(а):

Здесь нужно решить задачу или здесь нужно решить задачу максимально извращённым образом? Мне трудно проигнорировать весь предыдущий опыт и не потянуться сразу же искать решение в виде $u=f(\alpha x+\beta y)$.

Is the task here to solve the problem, or is it to solve the problem in the most convoluted way possible? It's hard for me to ignore all my previous experience and not immediately reach for a solution in the form of $u=f(\alpha x+\beta y)$.

Yes, the task is to learn how we reached that solution.

[пианист]

Knight2023
3. is wrong

[vpb]

Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):

перпендикулярны прямым $y= b/a x + c$.

Во-первых, не перпендикулярны, а параллельны. Во-вторых, обратите внимание, что не любая прямая на плоскости имеет уравнение вида $y=kx+l$.

-- 23.08.2024, 21:44 --

По моему опыту, это (путаница между направляющим и нормальным вектором прямой) --- такое странное место, где человек может долго не догадываться, что сделал ошибку. Особенно когда такое у него в первый раз случается. Я бы даже так сказал: пусть тот, кто никогда не путал направляющий вектор с нормальным, первый бросит в меня камень.
(The same in English: to confuse the normal vector to a line with its parallel vector is the mistake which every student made at least once in his life.)

[Knight2023]

I think I have solved the problem. Assume the solution to the given equation is $u(x,y)$. Rotate the. co-ordinate axes so that x-axis aligns with vector $\vec{v} = \langle a, b\rangle$. Angle of rotation, therefore, is $\theta = \tan^{-1} b/a$. The co-ordinates will transform thus,

$$ x \to \frac{ax -by}{\sqrt {a^2+b^2}} ~~\text{and}~~. y \to \frac{bx-ay}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

In the new co-ordinate system, we know $u_{x'} = 0$, that implies $u$ is solely a function of $y'$, thus,

$$ u = f \left( \frac{bx-ay}{\sqrt{a^2+b^2}} \right ) $$

All I'm having is an extra factor of $\sqrt{a^2 + b^2}$

[Red_Herring]

Knight2023 в сообщении #1651227 писал(а):

I think I have solved the problem.... All I'm having is an extra factor

Yes you solved it finally. But you seem not to understand that since $f$ is an arbitrary function you solution and $u(x,y)=f(bx-ay) $ coincide. And this is the simplest 1st order linear PDE with constant coefficients, and such and a bit more general 1st order PDEs are not really PDEs but ODEs in disguise and some ODE textbooks cover them. IMHO (based on 50+years of experience teaching university math) you are not ready for PDE.

[Knight2023]

vpb в сообщении #1651226 писал(а):

Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):

перпендикулярны прямым $y= b/a x + c$.

Во-первых, не перпендикулярны, а параллельны. Во-вторых, обратите внимание, что не любая прямая на плоскости имеет уравнение вида $y=kx+l$.

-- 23.08.2024, 21:44 --

По моему опыту, это (путаница между направляющим и нормальным вектором прямой) --- такое странное место, где человек может долго не догадываться, что сделал ошибку. Особенно когда такое у него в первый раз случается. Я бы даже так сказал: пусть тот, кто никогда не путал направляющий вектор с нормальным, первый бросит в меня камень.
(The same in English: to confuse the normal vector to a line with its parallel vector is the mistake which every student made at least once in his life.)

Thank you so much, sir, you have solved my original issue. Directional derivative of u(x,y) in the direction of v is zero doesn't imply that v is perpendicular to the surface u(x,y), but the tangent. Therefore, the level curves shall point in the direction of v = <a,b>.

-- 24.08.2024, 18:24 --

Now, the only thing left is to utilize the hint of пианист of changing the variables to solve the equation. My attempt is as follows:

$$ \begin{align} x =ax' \\ y= bx'+ y' \\ \frac{ \partial u}{\partial x} = \frac{ \partial u}{ \partial ax'} = \frac{ \partial u}{\partial x'} ~\frac{\partial x'}{\partial ax'} = 1/a~u_{x'} \\ \frac{ \partial u}{ \partial y} = \frac{ \partial u}{ \partial (bx'+y')} = \frac{ \partial u}{ \partial y'} \frac{\partial y'}{\partial (bx' +y')}= u_{y'}\\ a~u_x + b~u_y= 0\\ u_{x'} b~u_{y'} = 0 \end{align} $$

I couldn't advance any further. Can you please help with your hint a little more?

[Red_Herring]

Knight2023 в сообщении #1651265 писал(а):

I couldn't advance any further. Can you please help with your hint a little more?

It would be completely useless. The crap you wrote indicates that you would miserably fail in the first test of Calculus II .

Honestly, I suspect that you "mastered" Calculus I exactly the same way. I am dealing all the time with students who failed Calculus II or ODE and managed to persuade administrative assistants to let them enrolled in PDE or who failed 3rd year PDE or Complex variables and managed to persuade administrative assistant to enrol into 4th year class requiring those as prerequisites.

My 50+ year experience teaching math tells me that I may live long enough to see humans landing on Mars but not to see you getting BSci in Math from any reputable institution.