2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 15:00 


28/07/23
55
Данный PDE является следующим:
$$ au_x +bu_y =0 $$

Мое мышление:

1. LHS ищет производную по направлению $$grad ~u(x,y) ~\cdot ~\vec{v} = \langle a, b \rangle$$

2. Поскольку эта производная по направлению всегда равна нулю, это означает, что $u(x,y)$ постоянна в направлении $\vec{v}$.

3. Это означает, что все кривые уровня (level curves) $u(x,y)$ перпендикулярны прямым $y= b/a x + c$.

4. Следовательно, кривые уровня (level curves) должно иметь следующее уравнение
$$ y = -a/b x + d \rightarrow ax + by = d$$

5. Если f - любая обратимая функция (invertible function), предполагать
$$
u(x,y) = f (ax + by)$$

это уравнение $u(x, y)$ удовлетворяет свойству кривой уровня, которое мы вывели выше, вот как:
$$
\text{на уровне k}~ \rightarrow k = f(ax+by) \rightarrow f^{-1} = d= ax+by$$

К сожалению, эта формулировка для $u(x,y)$ не удовлетворяет данному уравнению
$$
a ~\cdot \frac{ \partial f(ax+by)} { \partial x} = a^2 ~\cdot f'(ax+by)$$

$$
b ~\cdot frac{ \partial f(ax+by)}{\partial y} = b^2~ \cdot f'(ax+by)$$

И это не приводит к нулю.

Где была допущена ошибка в моем мыслительном процессе?

(Возникновение этой идеи связано с книгой Вальтера Штрауса)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2316
МО
Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):
производную по направлению $$\operatorname{grad} ~u(x,y) ~\cdot ~\vec{v} = \langle a, b \rangle$$

Equality seems meaningless. What is LHS?
***
Just make a change of variables in the equation
$x = ax', y = bx' + y'$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Вам нужно определить направления линий уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 16:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
пианист в сообщении #1651187 писал(а):
What is LHS?
Left hand side.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2316
МО
nnosipov
Понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 18:21 


21/12/16
721

(Оффтоп)

Забавно. У ТС не возникает вопроса <<каков метод решения задач такого типа?>>, ему интересно, что бы нашли ошибку в его бредовом методе. Это то, почему невозможно научить самоучку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 20:57 


28/07/23
55
пианист в сообщении #1651187 писал(а):
Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):
производную по направлению $$\operatorname{grad} ~u(x,y) ~\cdot ~\vec{v} = \langle a, b \rangle$$

Equality seems meaningless. What is LHS?
***
Just make a change of variables in the equation
$x = ax', y = bx' + y'$

I just tried to be brief. I took the dot product of grad u with v, where v= <a,b>. Sorry if I was too brief to mislead.

-- 23.08.2024, 23:28 --

Red_Herring в сообщении #1651191 писал(а):
Вам нужно определить направления линий уровня.

Is there a way to do that within this working?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Здесь нужно решить задачу или здесь нужно решить задачу максимально извращённым образом? Мне трудно проигнорировать весь предыдущий опыт и не потянуться сразу же искать решение в виде $u=f(\alpha x+\beta y)$.

Is the task here to solve the problem, or is it to solve the problem in the most convoluted way possible? It's hard for me to ignore all my previous experience and not immediately reach for a solution in the form of $u=f(\alpha x+\beta y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 21:34 


28/07/23
55
Утундрий в сообщении #1651220 писал(а):
Здесь нужно решить задачу или здесь нужно решить задачу максимально извращённым образом? Мне трудно проигнорировать весь предыдущий опыт и не потянуться сразу же искать решение в виде $u=f(\alpha x+\beta y)$.

Is the task here to solve the problem, or is it to solve the problem in the most convoluted way possible? It's hard for me to ignore all my previous experience and not immediately reach for a solution in the form of $u=f(\alpha x+\beta y)$.


Yes, the task is to learn how we reached that solution.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2316
МО
Knight2023
3. is wrong

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 22:39 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):
перпендикулярны прямым $y= b/a x + c$.
Во-первых, не перпендикулярны, а параллельны. Во-вторых, обратите внимание, что не любая прямая на плоскости имеет уравнение вида $y=kx+l$.

-- 23.08.2024, 21:44 --

По моему опыту, это (путаница между направляющим и нормальным вектором прямой) --- такое странное место, где человек может долго не догадываться, что сделал ошибку. Особенно когда такое у него в первый раз случается. Я бы даже так сказал: пусть тот, кто никогда не путал направляющий вектор с нормальным, первый бросит в меня камень.
(The same in English: to confuse the normal vector to a line with its parallel vector is the mistake which every student made at least once in his life.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение23.08.2024, 23:13 


28/07/23
55
I think I have solved the problem. Assume the solution to the given equation is $u(x,y)$. Rotate the. co-ordinate axes so that x-axis aligns with vector $\vec{v} = \langle a, b\rangle$. Angle of rotation, therefore, is $\theta = \tan^{-1} b/a$. The co-ordinates will transform thus,
$$
x \to \frac{ax -by}{\sqrt {a^2+b^2}} ~~\text{and}~~. y \to \frac{bx-ay}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

In the new co-ordinate system, we know $u_{x'} = 0$, that implies $u$ is solely a function of $y'$, thus,
$$
u = f \left(
                \frac{bx-ay}{\sqrt{a^2+b^2}} \right )
$$

All I'm having is an extra factor of $\sqrt{a^2  + b^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение24.08.2024, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Knight2023 в сообщении #1651227 писал(а):
I think I have solved the problem.... All I'm having is an extra factor
Yes you solved it finally. But you seem not to understand that since $f$ is an arbitrary function you solution and $u(x,y)=f(bx-ay) $ coincide. And this is the simplest 1st order linear PDE with constant coefficients, and such and a bit more general 1st order PDEs are not really PDEs but ODEs in disguise and some ODE textbooks cover them. IMHO (based on 50+years of experience teaching university math) you are not ready for PDE.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение24.08.2024, 15:42 


28/07/23
55
vpb в сообщении #1651226 писал(а):
Knight2023 в сообщении #1651178 писал(а):
перпендикулярны прямым $y= b/a x + c$.
Во-первых, не перпендикулярны, а параллельны. Во-вторых, обратите внимание, что не любая прямая на плоскости имеет уравнение вида $y=kx+l$.

-- 23.08.2024, 21:44 --

По моему опыту, это (путаница между направляющим и нормальным вектором прямой) --- такое странное место, где человек может долго не догадываться, что сделал ошибку. Особенно когда такое у него в первый раз случается. Я бы даже так сказал: пусть тот, кто никогда не путал направляющий вектор с нормальным, первый бросит в меня камень.
(The same in English: to confuse the normal vector to a line with its parallel vector is the mistake which every student made at least once in his life.)

Thank you so much, sir, you have solved my original issue. Directional derivative of u(x,y) in the direction of v is zero doesn't imply that v is perpendicular to the surface u(x,y), but the tangent. Therefore, the level curves shall point in the direction of v = <a,b>.

-- 24.08.2024, 18:24 --

Now, the only thing left is to utilize the hint of пианист of changing the variables to solve the equation. My attempt is as follows:

$$
\begin{align} 
  x =ax' \\
  y= bx'+ y' \\
  \frac{ \partial u}{\partial x} = \frac{ \partial u}{ \partial ax'} = \frac{ \partial u}{\partial x'} ~\frac{\partial x'}{\partial ax'} = 1/a~u_{x'} \\
   \frac{ \partial u}{ \partial y} = \frac{ \partial u}{ \partial (bx'+y')} = \frac{ \partial u}{ \partial y'} \frac{\partial y'}{\partial (bx' +y')}= u_{y'}\\
   a~u_x + b~u_y= 0\\
   u_{x'} b~u_{y'} = 0
\end{align}
$$
I couldn't advance any further. Can you please help with your hint a little more?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мое понимание решения этой PDE.
Сообщение24.08.2024, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Knight2023 в сообщении #1651265 писал(а):
I couldn't advance any further. Can you please help with your hint a little more?
It would be completely useless. The crap you wrote indicates that you would miserably fail in the first test of Calculus II .

Honestly, I suspect that you "mastered" Calculus I exactly the same way. I am dealing all the time with students who failed Calculus II or ODE and managed to persuade administrative assistants to let them enrolled in PDE or who failed 3rd year PDE or Complex variables and managed to persuade administrative assistant to enrol into 4th year class requiring those as prerequisites.

My 50+ year experience teaching math tells me that I may live long enough to see humans landing on Mars but not to see you getting BSci in Math from any reputable institution.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group