Рид, Саймон

[Sla_sh]

Здравствуйте, товарищи.
Изучаю вот творчества Рида и Саймона, в частности, Методы современной математической физики, том 1.

Почти в самом начале в разделе, в котором вводится интеграл Лебега, наблюдаю следующие размышления:


Собственно, последняя формула и следующее за ней предложение мне совершенно не понятны. Интуиция подсказывает, что в формуле указана некая сумма, которую впоследствии, устремив n к бесконечности, мы назовем интегралом Лебега.
Однако почему сумма по 2^n больше чем сумма по n я ну совсем не понимаю....

[ewert]

Я думаю, что это просто опечатка и что имелось в виду

$\sum_{2^{n}}(f)\geqslant\sum_{2^{n-1}}(f)$

(что действительно достаточно очевидно). Но вообще-то это какая-то лирика. Обычно у Рида с Саймоном лирика удачна, а вот тут -- нет.

(слова "оно эквивалентно данному, но доказать это нелегко" подразумевают, что для доказательства сходимости по любым разбиениям достаточно рассматривать равномерные разбиения степенями двойки)

[Sla_sh]

откровенно говоря, все равно толком не понимаю в чем идея.
вот вы говорите, что это неравенство очевидно. а я совсем не понимаю. и совсем оно не очевидно с моей точки зрения.

интуитивно я догадываюсь, что мы вычисляем все ту же площадь, ограниченную кривой, которая вычислялась с помощью интеграла римана. догадываюсь, что мы берем своего рода нижнюю сумму Дарбу и поэтому, выбирая большее n, то есть, разбивая область значений функции на большее количество участков, мы приближаемся к значению интеграла.

но как это увидеть из формулы или из графика я не понимаю...и ещё не понимаю причем здесь степени двойки - откуда они взялись и зачем нужны

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем фактом, что переход по возрастающим степеням двойки соответствует на каждом шаге делению каждого из отрезков предыдущего разбиения пополам.

[ewert]

Пожалуй, стоит чуть подробнее.

Любой интеграл вообще строится как предел неких интегральных сумм. Отличие лебеговой конструкции от римановой (и это чётко сформулировано у Рида и Саймона) в том, что римановы суммы строются разбиением на маленькие участки области определения функции, лебеговы же -- разбиением области значений. Соответственно, для каждого участка в случае Римана берётся значение функции в произвольной точке отрезка, в случае Лебега -- просто произвольное число из соответствующего отрезка области значений. Естественно, в типичных ситуациях и то, и другое в пределе даст просто площадь.

В чём прелесть схемы Лебега? Для сходимости интегральных сумм требуется, чтобы те самые произвольно выбираемые значения стабилизировались по мере измельчения разбиения. В случае римановых сумм для этого нужно, чтобы подынтегральная функция была в известном смысле непрерывной, т.е. чтобы на небольших расстояниях её значения менялись мало -- пусть и не везде, но хоть "почти всюду". А вот в случае интеграла Лебега эта стабилизация наступает почти автоматически (точнее, следует лишь из аксиом меры). Всё, что нужно для существования интеграла Лебега -- это осмысленность самих интегральных сумм, т.е. измеримость прообразов любых отрезков. Таких функций весьма много (настолько много, что даже и контрпример так просто не построишь). Поэтому конструкция Лебега оказывается весьма общей; ну и потом у неё проявляются и дополнительные достоинства.

Теперь -- насчёт того неравенства. Там всё действительно просто. Вы правильно заметили, что по существу Рид и Саймон рассматривают нечто вроде нижней суммы Дарбу. Но ведь нижние суммы всегда могут лишь увеличиться, если каждый участок подразбивается на другие участки...

[Sla_sh]

Красиво вы это все расписали. Теперь все ясно. Спасибо