Пусть

это произвольная функция с целочисленными значениями.
Пусть

это целочисленная последовательность, такая, что

Пусть

это массив длины

с элементами

. Для

от

до

и (внутри) для

от

до

(т.е. это два вложенных цикла) будем последовательно применять

.
После множества численных экспериментов я заметил, что для абсолютно любой

выполняется следующее:

.
Вот код на
PARI/GP для проверки:
Код:
f(n) = n
upto1(n) = my(v1); v1 = vector(n, i, 1); for(i=1, n-1, for(j=i+1, n, v1[j] = f(i)*v1[j-1] + v1[j])); v1
h(n, x) = my(v1); v1 = upto1(n+1); sum(i=0, n, v1[i+1]*x^i*prod(k=1, i+1, 1-f(k)*x)) + x*O(x^n)
test(n) = my(x = 'x); Vec(h(n, x)) == vector(n+1, i, 1)
Существует ли способ как-нибудь доказать это?