Элементы массива и производящая функция

[kthxbye]

Пусть $f(n)$ это произвольная функция с целочисленными значениями.

Пусть $a(n)$ это целочисленная последовательность, такая, что

$$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a(n)x^n\prod\limits_{k=1}^{n+1}(1-f(k)x)$$

Пусть $\nu$ это массив длины $n$ с элементами $\nu_i = 1$. Для $i$ от $1$ до $n-1$ и (внутри) для $j$ от $i+1$ до $n$ (т.е. это два вложенных цикла) будем последовательно применять $\nu_j = f(i)\nu_{j-1} + \nu_j$.

После множества численных экспериментов я заметил, что для абсолютно любой $f(n)$ выполняется следующее: $\nu_i = a(i-1)$.

Вот код на PARI/GP для проверки:

f(n) = n
upto1(n) = my(v1); v1 = vector(n, i, 1); for(i=1, n-1, for(j=i+1, n, v1[j] = f(i)*v1[j-1] + v1[j])); v1
h(n, x) = my(v1); v1 = upto1(n+1); sum(i=0, n, v1[i+1]*x^i*prod(k=1, i+1, 1-f(k)*x)) + x*O(x^n)
test(n) = my(x = 'x); Vec(h(n, x)) == vector(n+1, i, 1)

Существует ли способ как-нибудь доказать это?