2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рид, Саймон
Сообщение06.12.2008, 07:31 


11/02/08
83
Здравствуйте, товарищи.
Изучаю вот творчества Рида и Саймона, в частности, Методы современной математической физики, том 1.

Почти в самом начале в разделе, в котором вводится интеграл Лебега, наблюдаю следующие размышления:
Изображение

Собственно, последняя формула и следующее за ней предложение мне совершенно не понятны. Интуиция подсказывает, что в формуле указана некая сумма, которую впоследствии, устремив n к бесконечности, мы назовем интегралом Лебега.
Однако почему сумма по 2^n больше чем сумма по n я ну совсем не понимаю....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2008, 07:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я думаю, что это просто опечатка и что имелось в виду

$\sum_{2^{n}}(f)\geqslant\sum_{2^{n-1}}(f)$

(что действительно достаточно очевидно). Но вообще-то это какая-то лирика. Обычно у Рида с Саймоном лирика удачна, а вот тут -- нет.

(слова "оно эквивалентно данному, но доказать это нелегко" подразумевают, что для доказательства сходимости по любым разбиениям достаточно рассматривать равномерные разбиения степенями двойки)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2008, 10:05 


11/02/08
83
откровенно говоря, все равно толком не понимаю в чем идея.
вот вы говорите, что это неравенство очевидно. а я совсем не понимаю. и совсем оно не очевидно с моей точки зрения.

интуитивно я догадываюсь, что мы вычисляем все ту же площадь, ограниченную кривой, которая вычислялась с помощью интеграла римана. догадываюсь, что мы берем своего рода нижнюю сумму Дарбу и поэтому, выбирая большее n, то есть, разбивая область значений функции на большее количество участков, мы приближаемся к значению интеграла.

но как это увидеть из формулы или из графика я не понимаю...и ещё не понимаю причем здесь степени двойки - откуда они взялись и зачем нужны

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2008, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Воспользуйтесь тем фактом, что переход по возрастающим степеням двойки соответствует на каждом шаге делению каждого из отрезков предыдущего разбиения пополам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2008, 10:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Пожалуй, стоит чуть подробнее.

Любой интеграл вообще строится как предел неких интегральных сумм. Отличие лебеговой конструкции от римановой (и это чётко сформулировано у Рида и Саймона) в том, что римановы суммы строются разбиением на маленькие участки области определения функции, лебеговы же -- разбиением области значений. Соответственно, для каждого участка в случае Римана берётся значение функции в произвольной точке отрезка, в случае Лебега -- просто произвольное число из соответствующего отрезка области значений. Естественно, в типичных ситуациях и то, и другое в пределе даст просто площадь.

В чём прелесть схемы Лебега? Для сходимости интегральных сумм требуется, чтобы те самые произвольно выбираемые значения стабилизировались по мере измельчения разбиения. В случае римановых сумм для этого нужно, чтобы подынтегральная функция была в известном смысле непрерывной, т.е. чтобы на небольших расстояниях её значения менялись мало -- пусть и не везде, но хоть "почти всюду". А вот в случае интеграла Лебега эта стабилизация наступает почти автоматически (точнее, следует лишь из аксиом меры). Всё, что нужно для существования интеграла Лебега -- это осмысленность самих интегральных сумм, т.е. измеримость прообразов любых отрезков. Таких функций весьма много (настолько много, что даже и контрпример так просто не построишь). Поэтому конструкция Лебега оказывается весьма общей; ну и потом у неё проявляются и дополнительные достоинства.

Теперь -- насчёт того неравенства. Там всё действительно просто. Вы правильно заметили, что по существу Рид и Саймон рассматривают нечто вроде нижней суммы Дарбу. Но ведь нижние суммы всегда могут лишь увеличиться, если каждый участок подразбивается на другие участки...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2008, 15:54 


11/02/08
83
Красиво вы это все расписали. Теперь все ясно. Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group