Задача Коши

[Brukvalub]

zoo в сообщении #164586 писал(а):

то что Вы получите таким способом не будет дифференцируемо в начальной точке и по, определению это не решение.

Согласен, Вы победили, так что в наряд по кухне сегодня придется идти мне

[GAA]

zoo писал(а):

Что значит "следует рассматривать перевернутое уравнение"? Исходное уравнение решений не имеет, Дальше мы делаем неэквивалентное преобразование или меняем смысл понятия "решение", ну это на здоровье, всем известный прием.

Это традиция. Спорить о названиях не собираюсь — я просто для Вашего сведения привел цитату. Вот еще Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 1984:

Цитата:

С геометрической точки зрения в такой постановке задачи представляются мало естественными следующие обстоятельства:
1) требуя, чтобы угловой коэффициент заданного в любой точке $(x, y)$ области G направления равнялся $f(x, y)$, мы тем самым исключаем направления, параллельные оси Оу;
2) рассматривая только кривые, служащие графиками функций от х, мы тем самым исключаем из рассмотрения те линии, которые некоторыми перпендикулярами к оси Ох пересекаются больше одного раза.

Поэтому мы несколько обобщим предыдущую постановку задачи. Именно, будем допускать, что поле направлений в некоторых точках параллельно оси Oy. И в таких точках, где угловой коэффициент по отношению к оси Ох не имеет смысла, будем пользоваться угловым коэффициентам по отношению к оси Оу. Соответственно этому будем наряду с дифференциальным уравнением (1.1) рассматривать уравнение
$\frac{dx}{dy} = f_1(x,y)$, (1,1’)
причем $f_1(x,y) = 1/f(x,y)$ всюду, где обе эти функции имеют смысл. При этом мы считаем, что в каждой точке G по крайней мере одна из функций $f$ и $f_1$ имеет смысл; $f_1 =0 $ там и только там, где $f$ не имеет смысла, a $f=0$ там и только там, где $f_1$ не имеет смысла. Задачу же интегрирования дифференциальных уравнений (1.1), (1.1’) мы поставим так: в области G найти все линии, имеющие в каждой точке направление, заданное уравнениями (1.1) и (1.1’). Эти линии мы будем называть интегральными линиями (интегральными кривыми) уравнений (1.1), (1.1’) или поля направлений, задаваемого этими уравнениями. Вместо множественного числа: «уравнения (1.1), (1.1’)», мы часто будем употреблять единственное число: «уравнение (1.1), (1.1')».

[ewert]

zoo в сообщении #164586 писал(а):

, а то что Вы получите таким способом не будет дифференцируемо в начальной точке и по, определению это не решение.

$y'={y\over\sqrt x}, \ y(0)=1$.

$y(x)=e^{2\sqrt x}$ в нуле не дифференцируема, а между тем -- это самое что ни на есть настоящее решение в самом что ни на есть общепринятом смысле.

Ибо коэффициент из эль-один, и всё вполне корректно.

Так что песен-то -- не надо.

[Pypuk]

Это должна быть задача Коши так как в задании написано Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

[antbez]

Ну вот... Всё легко решается! А просивший решивший задачу, наверное, в полной растерянности...

[ewert]

тут, наверное, проблема: что считать задачей Коши.

Стандартный затык тут вот в чём: якобы требуется, чтоб функция $y(x)$ в данном иксе имела данное значение.

А фактически же -- нужно лишь, чтоб данное конкретное икс отвечало данному конкретному игреку, и наоборот.

И никакой явной формулы ни в ту, ни в другую сторону (ни $y(x)$, ни $x(y)$) не предполагается, и даже не подразумевается.

[zoo]

ewert писал(а):

тут, наверное, проблема: что считать задачей Коши.

Стандартный затык тут вот в чём: якобы требуется, чтоб функция $y(x)$ в данном иксе имела данное значение.

А фактически же -- нужно лишь, чтоб данное конкретное икс отвечало данному конкретному игреку, и наоборот.

И никакой явной формулы ни в ту, ни в другую сторону (ни $y(x)$, ни $x(y)$) не предполагается, и даже не подразумевается.

глупость эта становится особенно очевидной ,если вспомнить, что в стандартной постановке задачи Коши для обыкновенных диф. уравнений $y(x)$ может быть не только скалярной функцией но и векторной, что соответствует системе уравнений. А эволюционная переменная $x$ -- только скаляр. Видимо, после изобретения своего собственного определения обобщенного решения эллиптического уравнения, ewert решил осчастливить нас новым определением задачи Коши для скалярного ОДУ, да еще и таким, которое не является частным случаем соответствующего определения для систем ОДУ.

[ewert]

Вы явно путаете формулировку задачи Коши и условия её корректности. И это -- не есть хорошо.