Бусина на резинке

[drzewo]

Маленькая бусина массы $m$ может без трения скользить по прямолинейной неподвижной направляющей. На расстоянии $a$ от направляющей закреплено кольцо $A$. Через это кольцо продета резинка жесткости $k$ один конец которой соединен с бусиной, а другой вытягивают с постоянной скоростью $v$ перпендикулярной направляющей.
В расслабленном состоянии длина резинки равна 0.
В начальный момент времени конец резинки находился в кольце $A$, а бусина была отведена на малое расстояние от точки $C$ -- см. рисунок. Бусину отпускают, без начальной скорости, резинку тянут.
Доказать, что скорость бусины стремится к нулю при $t\to\infty$.

[drzewo]

Поправка!

Доказать, что найдется последовательность моментов времени $t_k\to\infty$ по которым скорость бусины стремится к бесконечности: $V(t_k)\to\infty$.

[amon]

drzewo в сообщении #1649675 писал(а):

В расслабленном состоянии длина резинки равна 0.

IMHO, это не хорошо. Пусть длина резинки $L,$ тогда сила натяжения $F=kL,$ и сила, действующая на бусинку $-F\cos\alpha=-kL\frac{x}{L}$ не зависит от растяжения резинки.

[drzewo]

в произвольный момент времени длина резинки слагается из двух кусков: вертикального над точкой $A$ и гипотенузы

[drzewo]

Напишу лагранжиан на случай если условие недостаточно внятно. Проведем ось $Cx$ через направляющую, и пусть $x$ -- координата точки $m$,

$$L=\frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{1}{2}k\big(\sqrt{a^2+x^2}+vt\big)^2.$$

[amon]

drzewo в сообщении #1649690 писал(а):

Доказать, что скорость бусины стремится к нулю при $t\to\infty$.

(Хамское решение)

Пусть резинка натянута и неподвижна ($v=0,$ длина резинки $L,$ натяжение $F=kL$). Пусть $x\ll a$ ("бусина отведена на малое расстояние"). Тогда с точностью до членов второго порядка

$$\begin{align} m\ddot x&=-\frac{F}{a}x\\ \omega^2&=\frac{F}{am}\\ m\ddot x&+\omega^2 x=0 \end{align}.$$

Если резинка растягивается, то рано или поздно возникнет режим, когда $\frac{\Delta\omega}{\omega}\ll 1,$ где $\Delta\omega$ - изменение частоты за "период колебания". Это значит, что сохраняется адиабатический инвариант $I=\frac{E}{\omega}.$ Тогда

$$I=\frac{m \omega A^2}{2},$$

где $A$ - амплитуда колебания. Значит $A\to 0$ при $\omega \to \infty.$

[drzewo]

Вы пытаетесь какую-то другую задачу решать. Хотя я уже и лагранжиан записал. Ну давайте линеризовывать вместе

$$\sqrt{a^2+x^2}\simeq a\Big(1+\frac{x^2}{2a^2}+\ldots\Big),\quad L\simeq \frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{1}{2}kx^2\Big(1+\frac{vt}{a}\Big)$$

-- 13.08.2024, 22:22 --

Потом вы почему-то проигнорировали мое замечание

drzewo в сообщении #1649690 писал(а):

Поправка!

Доказать, что найдется последовательность моментов времени $t_k\to\infty$ по которым скорость бусины стремится к бесконечности: $V(t_k)\to\infty$.

[amon]

drzewo в сообщении #1649847 писал(а):

Вы пытаетесь какую-то другую задачу решать.

IMHO, эту и решал, только назвал $m\omega^2=k\left(1+\frac{vt}{a}\right).$ При больших $t$ в этой системе есть адиабатический инвариант. Далее - по тексту. Про скорость в уме ничего сходу не придумывается. Это надо на бумажке настоящие уравнения писать.

[drzewo]

Я не вижу в этой задаче малых параметров, адиабатических инвариантов и т.п. Рад буду увидеть аккуратные формулы.

-- 13.08.2024, 22:57 --

amon: На всякий случай замечу, что ограниченность переменной <<Действие >> противоречит тому, что требуется доказать.

UPD: а может и не противоречит. Аккуратные формулы нужны, короче

[amon]

drzewo в сообщении #1649854 писал(а):

Каким образом из наличия адиабатического инварианта вытекает то, что я прошу доказать?

А это я задачу неправильно запомнил. В уме получается, что амплитуда колебания стремится к нулю, а скорость (амплитуда скорости) - к бесконечности. Так что, видимо, соврал, виноват. Хотя, где - пока не соображу.

[drzewo]

amon вы просто зафлудили и замусорили содержательный вопрос, а я на это повелся. Это моя ошибка. Считайте, что вы задачу решили.

[amon]

drzewo в сообщении #1649867 писал(а):

Считайте, что вы задачу решили.

Я за свою долгую и богатую приключениями жизнь столько задач решил, что одной больше, одной меньше - какая разница. А все-таки, если без эмоций. К черту инварианты. Для линеаризованной задачи (пусть все константы - единицы, от этого ведь ничего не зависит) можно написать точное решение:

$$\ddot x+x(1+t)=0,$$

заменой $\tau=-1-t$ уравнение сведется к уравнению Эйри

$$x''-\tau x=0$$

Его решениe

$$\begin{align} x(t)&=C_1\operatorname{Ai}(-1-t)+C_2 \operatorname{Bi}(-1-t)\\ \dot x(t)&=-C_1\operatorname{Ai}'(-1-t)-C_2 \operatorname{Bi}'(-1-t). \end{align}$$

Константы выражаются через начальные условия. Пусть $t\to\infty,$ тогда, согласно Абрамовцу со Стиганом

$$\begin{align} \operatorname{Ai}(-t)&\sim\pi^{-\frac{1}{2}}t^{-\frac{1}{4}}\left(\sin\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)\right)\\ \operatorname{Bi}(-t)&\sim\pi^{-\frac{1}{2}}t^{-\frac{1}{4}}\left(\cos\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)\right)\\ \operatorname{Ai}'(-t)&\sim\pi^{-\frac{1}{2}}t^{\frac{1}{4}}\left(\cos\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)\right)\\ \operatorname{Bi}'(-t)&\sim\pi^{-\frac{1}{2}}t^{\frac{1}{4}}\left(\sin\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\zeta+\frac{\pi}{4}\right)\right)\\ \zeta&=\frac{2}{3}t^\frac{3}{2}. \end{align}$$

Итого, в линейной задаче $x\to 0$ при $t\to\infty,$ а амплитуда $\dot x$ стремится к бесконечности в противоречии с условиями задачи, причем асимптотики амплитуд такие же, как из моих адиабатических инвариантов. Так что, задачу нельзя линеаризовать, либо с задачей что-то не то?

[zhyks1961]

drzewo в сообщении #1649690 писал(а):

Поправка!

Доказать, что найдется последовательность моментов времени $t_k\to\infty$ по которым скорость бусины стремится к бесконечности: $V(t_k)\to\infty$.

а нельзя ли свести задачу к грузику на пружине? И с законом сохранения энергии...

[Geen]

amon в сообщении #1649890 писал(а):

амплитуда $\dot x$ стремится к бесконечности в противоречии с условиями задачи

А в чём противоречие?

[amon]

Geen в сообщении #1650258 писал(а):

А в чём противоречие?

drzewo в сообщении #1649675 писал(а):

Доказать, что скорость бусины стремится к нулю при $t\to\infty$.