Помогите с пределом

[sunstr1ke]

Решаю типовик по математике, помогите пожалуйста с таким пределом:

[ShMaxG]

Ну какие у Вас мысли хотя бы?

[id]

sunstr1ke
Вы бы лучше переписали его по правилам форума, а то Модератор придет, в изолятор отправит.

$\cos (x)$ при $x \to 0$ стремится к $1$, $\ctg$ - к бесконечности, соответственно есть неопределенность известного типа. Запишите это как $exp(ln(~){ctg^2 x^2})$, дальше эквивалентностями.

[sunstr1ke]

id писал(а):

$\cos (x)$ при $x \to 0$ стремится к $1$, $\ctg$ - к бесконечности, соответственно есть неопределенность известного типа. Запишите это как $exp(ln(~){ctg^2 x^2})$, дальше эквивалентностями.

Я так и решал, но не получается. Попытался использовать правило Лопиталя.
Вот мое решение :


Кстати Mathcad в ответе выдает 0.

id писал(а):

sunstr1ke
Вы бы лучше переписали его по правилам форума, а то Модератор придет, в изолятор отправит.

Извините пожалуйста, что опять неформат, просто я не умею оформлять формулы при помощи тега math. Хотел научится, в чем-то разобрался, но не нашел как обозначается предел.

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Мне кажется, я понял.

В последней строчке бесконечно малая умножается на -1. и тогда получается отрицательная бесконечно малая.
При делении 5 на отрицательную бесконечно малую получается -бесконечность. e в степени -бесконечность даст 0. я прав?

[ShMaxG]

sunstr1ke писал(а):

Кстати Mathcad в ответе выдает 0.

Ага. Внимательней степень считайте (в последней строчке), там

\[ - \infty \]

[sunstr1ke]

Спасибо. Я понял уже.

[daogiauvang]

не правильно ответ!

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (1+5-\frac{5}{\cos x})}{\tan^2 x}=\lim\limits_{x \to 0} 5\frac{\cos x -1}{x^2 \cos x}= \lim\limits_{x \to 0} 5\frac{ -x^2/2}{x^2}= \frac{-5}{2}$
ответ: $e^{-5/2}$

[ewert]

$\left(6-{5\over\cos x}\right)^{\ctg^2x^2}\sim\left(6-{5\over1-{x^2\over2}}\right)^{1\over x^4}\sim\left(6-5\left(1+{x^2\over2}\right)\right)^{1\over x^4}=\left(1-{5x^2\over2}\right)^{1\over x^4}\sim e^{-{5\over2x^2}}\to0$

(обоснования -- для пуристов)

-------------------------------------------------------------------------
(Наверняка в условии задачи один (любой) из квадратов в показателе -- лишний, и тогда ответ -- $e^{-5/2}$).