Уравнение Гордана

[nnosipov]

Решите уравнение $\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1$ в острых углах, соизмеримых с прямым углом.

Комментарий. Это уравнение (в несколько ином виде) впервые появилось в статье Gordan P. Ueber endliche Gruppen linearer Transformationen einer Veranderlichen // Math. Ann. 1877. V. 12. P. 23–46. Решение Гордана довольно сложное и длинное (в нем основательно используются круговые поля). Но это потому, что на тот момент еще не был доступен один удобный инструмент, который изобрели только в начале 20-го века. Теперь уравнение Гордана можно давать на олимпиадах (что я и сделал, предложив его для последней Сибирской мат. олимпиаде). Правда, студентам его не удалось решить, но задача шла в категории старших курсов последним номером (типа, самая сложная).

[nnosipov]

Уравнение Гордана неожиданно возникает при решении следующей задачи (см. тему про Пентадекагональные треугольники).

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, углы которого соизмеримы с $\pi$. Известно, что две его внешние биссектрисы равны: $AA_2=BB_2$. Докажите, что углы треугольника $ABC$ равны $11\pi/15$, $\pi/15$, $\pi/5$.

Если $a$, $b$, $c$ --- длины сторон (здесь $a=BC$ и т.д.), то условие $AA_2=BB_2$ сводится к уравнению

$$(a+b)(ab+c^2)-3abc-c^3=0.$$

Далее можно перейти к углам: заменить $a$ на $\sin{\alpha}$, $b$ на $\sin{\beta}$, а $c$ на $\sin{(\pi-\alpha-\beta)}=\sin{(\alpha+\beta)}$. И, наконец, ввести комплексные неизвестные $x=\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$ и $y=\cos{\beta}+i\sin{\beta}$. Это даст весьма громоздкое уравнение

$$x^4y^4+3x^3y^3+2x^3y^2-x^3y+2y^3x^2+2x^2y^2+2yx^2-xy^3+2y^2x+3xy+1=0$$

с абсолютно неприводимой левой частью. Удивительно, но решение этого уравнения можно свести к решению уравнения Гордана, которое удобно переписать в виде

$$2+X+X^{-1}+Y+Y^{-1}+Z+Z^{-1}=0.$$

Здесь $X$, $Y$, $Z$ --- неизвестные комплексные числа, по модулю равные $1$ и имеющие аргументы, соизмеримые с $\pi$. (Так получится, если в уравнении из стартового сообщения квадраты косинусов заменить на косинусы двойных аргументов и затем перейти к комплексным неизвестным.) Желающие могут попробовать осуществить это сведение (что совсем нетрудно, если воспользоваться какой-нибудь СКА).

[nnosipov]

Еще пара замечаний.

1. Уравнение

$$(a+b)(ab+c^2)-3abc-c^3=0 \quad (*)$$

(с заменой $b$ на $c$ и $c$ на $b$) есть в книжке Sharygin I.F. Problems in Plane Geometry. Moscow: Mir Publishers, 1988. см. решение Problem 260 (Sec. 1). В этой задаче приводится конкретный пример неравнобедренного треугольника с двумя равными внешними биссектрисами. Если нарисовать кривую $(*)$, то станет ясно, что таких примеров целый континуум, поэтому это не так интересно.

2. Дальше, следуя статье Netay I.V., Savvateev A.V. Sharygin triangles and elliptic curves // Bull. Korean Math. Soc. 2017. V. 54. P. 1597–1617. можно было бы поинтересоваться, а есть ли подобные примеры среди целочисленных треугольников (т.е. когда $a$, $b$, $c$ суть целые числа; в примере Шарыгина имеем $a=(1+\sqrt{17})/2$, $b=1$, $c=2$). Увы, здесь нечем поживиться: эллиптическая кривая $(*)$ имеет нулевой ранг, так что целочисленных треугольников с указанным свойством не существует (правда, совершенно непонятно, как это доказать элементарно; информация о ранге кривой $(*)$ взята с сайта https://www.lmfdb.org).