2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 01:31 


07/08/24
2
Еще со второго курса стоит такая проблема:
В стандартном курсе математического анализа оператор набла вводится достаточно странным образом.
Утрируя: $\nabla = \vec{i}\frac{\partial}{\partial{x}}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial{y}}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial{z}}$ и говорят, что воспринимать это можно как вектор.
Далее им пользуются как обычным вектором, вскользь упоминая небольшие изменения в векторном и скалярном произведении.

Из небольшого рассуждения ясно, что вектором он в обычном понимании пр-ва $R^{3}$ не является(Как минимум потому что $R^3$ задано над полем R и любой вектор в нем изоморфен столбцу трёх чисел, а операторы $\frac{\partial}{\partial{x}},\frac{\partial}{\partial{y}},\frac{\partial}{\partial{z}}$ числами не являются).

Значит набла - объект другого пространства. А когда набла вводится в математическом анализе, фактически с пр-вом $R^{3}$ мы перестаем работать и работаем в новом, модифицированном.

Единственная идея что до меня пока смогла дойти: набла объект дуального к $R^m$ пр-ва дифференциальных операторов, а работать мы стали в пр-ве тензорном произведении $R^3\otimes{}(R^3)^*$ причем в котором по новому задана операция скалярного и векторного произведения. Не исключаю, что я написал полную ахинею и бред.

Пожалуйста, направьте меня в правильном направлении, возможно посоветуйте литературу, где наблу определяют точно и поясняют, что же произошло с пр-вом когда мы ее ввели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 01:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Почему бред? Всё верно. Набла это аналог градиента (объект с нижними индексами) и действительно является элементом пространства дуального к векторному пространству (объектов с верхними индексами). Трагедия состоит в том, что векторное и ковекторное пространства в случае $\mathbb R^n$ устроены удручающе одинаково и их часто банально путают (отождествляют). Так же как и свёртку со скалярным произведением. Это $\mathbb R^n$, тут всё можно! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 02:33 


07/08/24
2
Ну тогда остается проблема, как все таки переопределено скалярное произведение и векторное, что означает $\vec{i}\frac{\partial}{\partial{q}}$ (точнее что за операция стоит между ними и как она определена).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 02:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Besse_Phys в сообщении #1648722 писал(а):
тогда остается проблема, как все таки переопределено скалярное произведение и векторное
Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
им пользуются как обычным вектором, вскользь упоминая небольшие изменения...
Связанные с тем, что это всё-таки дифференциальный оператор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 09:50 


21/12/16
721
Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
Далее им пользуются как обычным вектором,

если вы имеете в виду записи вида $\nabla \cdot\boldsymbol v=\mathrm{div}\,\boldsymbol v$ то это формальная запись, используется исключительно для удобства и за ней ни какого глубокого смысла нет, только то, что написано



Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
Пожалуйста, направьте меня в правильном направлении, возможно посоветуйте литературу, где наблу определяют точно и поясняют, что же произошло с пр-вом когда мы ее ввели.

Думаю, что учебника, в котором излагалась бы чепуха, которую вы себе придумали, вы не найдете

 Профиль  
                  
 
 Re: Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484
Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
Из небольшого рассуждения ясно, что вектором он в обычном понимании пр-ва $R^{3}$ не является
Верно, не является.

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
Значит набла - объект другого пространства.
Не обязательно думать о нем как об объекте некого другого пространства. Это просто дифференциальный оператор, действующий на элементы $\mathbb R^3$.
Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
А когда набла вводится в математическом анализе, фактически с пр-вом $\mathbb R^3$ мы перестаем работать и работаем в новом, модифицированном.
Рассмотрим пространство $C$ дифференцируемых функций $\mathbb R \to \mathbb R$. Оператор $\dfrac {d}{dx}$ ("взять производную"), очевидно, не является элементом $C$. Значит ли это, что, когда Вы берете производную от синуса, Вы перестаете работать с дифференцируемыми функциями и начинаете работать в "модифицированном пространстве"? И нужно ли Вам это "модифицированное пространство", чтобы взять производную от синуса?

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
и говорят, что воспринимать это можно как вектор
Это жаргон. Читайте это так: операции с оператором Наббла имеют некоторое сходство с операциями над векторами, и это удобно для вычислений. Так же как оператор $\dfrac {d}{dx}$ имеет некоторое сходство с умножением на константу (например, его можно выносить за знак суммы). Разумеется, никто в здравом уме не посчитает его вещественной константой, так же как оператор Наббла не является вектором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 11:11 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Векторные поля тоже формально векторами не являются. Если очень хочется, то можно зафиксировать некоторое пространство функций $C$ от трёх переменных (скажем, непрерывно дифференцируемых) и пространство линейных дифференциальных операторов $D$ (с постоянными коэффициентами, т.е. вида $a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y} + c \frac{\partial}{\partial z}$). Это векторные пространства и даже представления $\mathrm O(3)$. Векторные функции и векторные дифференциальные операторы - это элементы тензорных произведений $\mathbb R^3 \otimes C$ и $\mathbb R^3\otimes D$. Оператор набла лежит в $\mathbb R^3\otimes D$. Скалярные и векторные произведения на эти новые пространства обобщаются по линейности так: они понятно какие на первых тензорных сомножителях, а на вторых это применение дифференциального оператора $D \times C \to C'$ (со значениями в новом пространстве $C'$, так как гладкость в общем случае снижается). Разумеется, скалярное произведение перестаёт быть коммутативным, оно вообще только в одном порядке определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формальное определение оператора набла
Сообщение07.08.2024, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):
Еще со второго курса стоит такая проблема:

Второго курса чего? В зависимости от специальности советы могут быть разными

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group