Еще со второго курса стоит такая проблема:
В стандартном курсе математического анализа оператор набла вводится достаточно странным образом.
Утрируя:

и говорят, что воспринимать это можно как вектор.
Далее им пользуются как обычным вектором, вскользь упоминая небольшие изменения в векторном и скалярном произведении.
Из небольшого рассуждения ясно, что вектором он в обычном понимании пр-ва

не является(Как минимум потому что

задано над полем R и любой вектор в нем изоморфен столбцу трёх чисел, а операторы

числами не являются).
Значит набла - объект другого пространства. А когда набла вводится в математическом анализе, фактически с пр-вом

мы перестаем работать и работаем в новом, модифицированном.
Единственная идея что до меня пока смогла дойти: набла объект дуального к

пр-ва дифференциальных операторов, а работать мы стали в пр-ве тензорном произведении

причем в котором по новому задана операция скалярного и векторного произведения. Не исключаю, что я написал полную ахинею и бред.
Пожалуйста, направьте меня в правильном направлении, возможно посоветуйте литературу, где наблу определяют точно и поясняют, что же произошло с пр-вом когда мы ее ввели.