Формальное определение оператора набла

[Besse_Phys]

Еще со второго курса стоит такая проблема:
В стандартном курсе математического анализа оператор набла вводится достаточно странным образом.
Утрируя: $\nabla = \vec{i}\frac{\partial}{\partial{x}}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial{y}}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial{z}}$ и говорят, что воспринимать это можно как вектор.
Далее им пользуются как обычным вектором, вскользь упоминая небольшие изменения в векторном и скалярном произведении.

Из небольшого рассуждения ясно, что вектором он в обычном понимании пр-ва $R^{3}$ не является(Как минимум потому что $R^3$ задано над полем R и любой вектор в нем изоморфен столбцу трёх чисел, а операторы $\frac{\partial}{\partial{x}},\frac{\partial}{\partial{y}},\frac{\partial}{\partial{z}}$ числами не являются).

Значит набла - объект другого пространства. А когда набла вводится в математическом анализе, фактически с пр-вом $R^{3}$ мы перестаем работать и работаем в новом, модифицированном.

Единственная идея что до меня пока смогла дойти: набла объект дуального к $R^m$ пр-ва дифференциальных операторов, а работать мы стали в пр-ве тензорном произведении $R^3\otimes{}(R^3)^*$ причем в котором по новому задана операция скалярного и векторного произведения. Не исключаю, что я написал полную ахинею и бред.

Пожалуйста, направьте меня в правильном направлении, возможно посоветуйте литературу, где наблу определяют точно и поясняют, что же произошло с пр-вом когда мы ее ввели.

[Утундрий]

Почему бред? Всё верно. Набла это аналог градиента (объект с нижними индексами) и действительно является элементом пространства дуального к векторному пространству (объектов с верхними индексами). Трагедия состоит в том, что векторное и ковекторное пространства в случае $\mathbb R^n$ устроены удручающе одинаково и их часто банально путают (отождествляют). Так же как и свёртку со скалярным произведением. Это $\mathbb R^n$, тут всё можно!

[Besse_Phys]

Ну тогда остается проблема, как все таки переопределено скалярное произведение и векторное, что означает $\vec{i}\frac{\partial}{\partial{q}}$ (точнее что за операция стоит между ними и как она определена).

[Утундрий]

Besse_Phys в сообщении #1648722 писал(а):

тогда остается проблема, как все таки переопределено скалярное произведение и векторное

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

им пользуются как обычным вектором, вскользь упоминая небольшие изменения...

Связанные с тем, что это всё-таки дифференциальный оператор.

[drzewo]

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

Далее им пользуются как обычным вектором,

если вы имеете в виду записи вида $\nabla \cdot\boldsymbol v=\mathrm{div}\,\boldsymbol v$ то это формальная запись, используется исключительно для удобства и за ней ни какого глубокого смысла нет, только то, что написано

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

Пожалуйста, направьте меня в правильном направлении, возможно посоветуйте литературу, где наблу определяют точно и поясняют, что же произошло с пр-вом когда мы ее ввели.

Думаю, что учебника, в котором излагалась бы чепуха, которую вы себе придумали, вы не найдете

[Anton_Peplov]

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

Из небольшого рассуждения ясно, что вектором он в обычном понимании пр-ва $R^{3}$ не является

Верно, не является.

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

Значит набла - объект другого пространства.

Не обязательно думать о нем как об объекте некого другого пространства. Это просто дифференциальный оператор, действующий на элементы $\mathbb R^3$.

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

А когда набла вводится в математическом анализе, фактически с пр-вом $\mathbb R^3$ мы перестаем работать и работаем в новом, модифицированном.

Рассмотрим пространство $C$ дифференцируемых функций $\mathbb R \to \mathbb R$. Оператор $\dfrac {d}{dx}$ ("взять производную"), очевидно, не является элементом $C$. Значит ли это, что, когда Вы берете производную от синуса, Вы перестаете работать с дифференцируемыми функциями и начинаете работать в "модифицированном пространстве"? И нужно ли Вам это "модифицированное пространство", чтобы взять производную от синуса?

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

и говорят, что воспринимать это можно как вектор

Это жаргон. Читайте это так: операции с оператором Наббла имеют некоторое сходство с операциями над векторами, и это удобно для вычислений. Так же как оператор $\dfrac {d}{dx}$ имеет некоторое сходство с умножением на константу (например, его можно выносить за знак суммы). Разумеется, никто в здравом уме не посчитает его вещественной константой, так же как оператор Наббла не является вектором.

[dgwuqtj]

Векторные поля тоже формально векторами не являются. Если очень хочется, то можно зафиксировать некоторое пространство функций $C$ от трёх переменных (скажем, непрерывно дифференцируемых) и пространство линейных дифференциальных операторов $D$ (с постоянными коэффициентами, т.е. вида $a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y} + c \frac{\partial}{\partial z}$). Это векторные пространства и даже представления $\mathrm O(3)$. Векторные функции и векторные дифференциальные операторы - это элементы тензорных произведений $\mathbb R^3 \otimes C$ и $\mathbb R^3\otimes D$. Оператор набла лежит в $\mathbb R^3\otimes D$. Скалярные и векторные произведения на эти новые пространства обобщаются по линейности так: они понятно какие на первых тензорных сомножителях, а на вторых это применение дифференциального оператора $D \times C \to C'$ (со значениями в новом пространстве $C'$, так как гладкость в общем случае снижается). Разумеется, скалярное произведение перестаёт быть коммутативным, оно вообще только в одном порядке определено.

[Red_Herring]

Besse_Phys в сообщении #1648718 писал(а):

Еще со второго курса стоит такая проблема:

Второго курса чего? В зависимости от специальности советы могут быть разными