2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 16:12 


28/07/23
55
Это уравнение выглядит следующим образом
$$
xy'' -(x+1)y'-2(x-1)y=0
$$

Я пытался:
1. $y= x^n$, Но это не сработало
2. $y=e^{mx}$, но и это не сработало

Я действительно не знаю ни одного метода поиска конкретного решения, может ли кто-нибудь мне в этом помочь? Если я получу одно решение, то смогу ли я использовать variation of parameters.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 16:57 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
Можно попробовать $y=f(x)e^{-x}$, и подобрать очень простую $f(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
Knight2023 в сообщении #1648275 писал(а):
2. $y=e^{mx}$, но и это не сработало

Посмотрите внимательно, Вы в этом месте где-то ошиблись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 17:14 


11/07/16
825
waxtep
В результате указанной Вами замены приходим к уравнению $x f''(x)-(3 x+1) f'(x)+3 f(x)=0.$ Хрен редьки не слаще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 17:19 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Если уж подставлять что-то в линейное уравнение и степенные/показательные функции не подходят, то подставляйте сразу квазимногочлен общего вида. То есть $y = \sum_{\alpha \in \mathbb C} \sum_{i = 0}^\infty k_{\alpha i} x^i e^{\alpha x}$, где только конечное множество коэффициентов $k_{\alpha i}$ ненулевые. Такие функции хороши тем, что содержат многочлены, экспоненты, синусы, косинусы, и замкнуты относительно сложения и умножения. Например, для решения $y' = y$ после подстановки будет $\sum_{\alpha \in \mathbb C} \sum_{i = 0}^\infty k_{\alpha i} (i x^{i - 1} e^{\alpha x} + \alpha x^i e^{\alpha x}) = \sum_{\alpha \in \mathbb C} \sum_{i = 0}^\infty k_{\alpha i} x^i e^{\alpha x}$, откуда $i k_{\alpha, i + 1} + \alpha k_{\alpha i} = k_{\alpha i}$. Раз почти все коэффициенты нулевые, подходит только $y = k e^x$ ($k_{1 0}$ произвольный, остальные нули).

Это помогает для уравнений типа $y^{(n)} + f_{n - 1}(x) y^{(n - 1)} + \ldots + f_0(x) y + g(x) = 0$, где $f_k$ сами квазимногочлены. Если там встречаются отрицательные или дробные степени, то $i$ надо уже брать из $\mathbb Z$ или $\mathbb R$. В вашем случае $i \in \mathbb Z$, чтобы наверняка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
Markiyan Hirnyk в сообщении #1648280 писал(а):
waxtep
В результате указанной Вами замены приходим к уравнению $x f''(x)-(3 x+1) f'(x)+3 f(x)=0.$ Хрен редьки не слаще.

Ищите решение в виде $f(x)=\alpha x+\beta$ . (Но это только часть решения - см. замечание от пианист).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 17:43 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
мат-ламер, ага. Можно было начать более издалека, с $y=f(x)e^{mx}$, и убедиться, что $m=-1$ надобен для уничтожения $x^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
waxtep

(Оффтоп)

Я подсказку чуть ослабил. Чтобы не выписывать сразу ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 19:03 


11/07/16
825
Команда Мэйпла 2024
Код:
DEtools:-ODESteps(x*diff(y(x), x, x) - (x + 1)*diff(y(x), x) - 2*(x - 1)*y(x) = 0)

показывает пошаговое решение рассматриваемого ОДУ, которое состоит в следующем. Общее решение ищется в виде суммы степенного ряда $y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^{k+r}$. Показывается, что $r=0$ или $ r=2$ и находятся возвратные соотношения для коэффициентов , например, во втором случае $a_{k+2}=\frac{k a_{k+1}+2 a_{k}+a_{k+1}}{\left(k+4\right) \left(k+2\right)}$. Мэйпл решает оба рекуррентные соотношения и затем находит суммы степенных рядов, например $$ \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{\left(\frac{2 a_{0}}{3}-a_{1}\right) \left(-1\right)^{k} \left(k+\frac{5}{3}\right)}{\Gamma \! \left(k+3\right)}+\frac{\left(\frac{8 a_{0}}{9}+\frac{5 a_{1}}{3}\right) 2^{k}}{\Gamma \! \left(k+3\right)}\right)\cdot x^{k+2}=$$ $$\frac{2 a_{0} \left(2-x+\frac{-x-2}{ e^{x}}\right)}{3}+\frac{10 a_{0} \left(1+\left(x-1\right) {e}^{x}\right)}{9 { e}^{x}}-a_{1} \left(2-x+\frac{-x-2}{{ e}^{x}}\right)-\frac{5 a_{1} \left(1+\left(x-1\right) { e}^{x}\right)}{3 { e}^{x}}+\frac{2 a_{0} \left( e^{2 x}-1-2 x\right)}{9}+\frac{5 a_{1} ( e^{2 x}-1-2 x)}{12}$$. Все это достаточно длинно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 19:31 


28/07/23
55
waxtep в сообщении #1648278 писал(а):
Можно попробовать $y=f(x)e^{-x}$, и подобрать очень простую $f(x)$

да, это сработало, я нашел одно решение, которое должно быть
$$
y_1 = (3x+1) e^{-x}
$$
Как ты до этого додумался? Это было предположение?

-- 03.08.2024, 22:05 --

пианист в сообщении #1648279 писал(а):
Knight2023 в сообщении #1648275 писал(а):
2. $y=e^{mx}$, но и это не сработало

Посмотрите внимательно, Вы в этом месте где-то ошиблись.

Когда я изначально вставил
$$y= e^{mx}$$
Я получил
$$m^2x -(x+1)m -2x+2=0$$
и я думал, что m не будет постоянной величиной, но, последовав вашему совету, я сделал это, и m стало равным 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 20:26 
Админ форума


02/02/19
2522
Knight2023 в сообщении #1648294 писал(а):
Как ты до этого додумался?
Knight2023 Пожалуйста, говорите собеседнику не "ты", а "вы". В русском языке "вы" - уважительное обращение к человеку. "Ты" говорят друзьям или родственникам.
If you find it difficult to speak Russian, please speak English.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение03.08.2024, 23:12 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
Knight2023 в сообщении #1648294 писал(а):
Как ты до этого додумался? Это было предположение?
Честно говоря, методом подбора, технику я основательно подзабыл. В виде $f(x)\cdot g(x)$, где $f$ неизвестна, а $g$ - какая-то из элементарных функций - логарифм, экспонента, степенная, косинус и т.п. В этом случае попробовал логарифм и его первообразную, а так же экспоненту, - и она подошла

-- 03.08.2024, 23:23 --

+ "подошла" - в том смысле, что и $f$ оказалась простой, многочленом первой степени

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение одного решения дифференциального уравнения второг
Сообщение04.08.2024, 07:44 


28/07/23
55
Ende в сообщении #1648302 писал(а):
Knight2023 в сообщении #1648294 писал(а):
Как ты до этого додумался?
Knight2023 Пожалуйста, говорите собеседнику не "ты", а "вы". В русском языке "вы" - уважительное обращение к человеку. "Ты" говорят друзьям или родственникам.
If you find it difficult to speak Russian, please speak English.

I will surely keep that in mind.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group