Уравнения Эйнштейна, записанные коэффициенты Ламе?

[Divergence]

Ортогональная система координат - это система криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_coordinates

$$ ds^2 \, = \, \sum^{n}_{k=1} (H_k (q) \, dq^k)^2 , $$

где $H_k(q) = H_k(q_1,q_2,..., q_n) $ - коэффициенты Ламе.
Коэффициенты Ламе - это способ записи римановой метрики в криволинейных ортогональных координатах.
https://en.wikipedia.org/wiki/Curviline ... efficients

Подскажите пожалуйста статьи или книги на английском или русском, в которых были бы выписаны уравнения Эйнштейна из ОТО, через $H_k(q) = H_k(q_1,q_2,..., q_n)$, то есть через коэффициенты Ламе в общем виде.
Надеюсь, в такой статье или книге также присутствуют символы Кристоффеля, тензор кривизны Римана, тензор Риччи, скалярная кривизна через коэффициенты Ламе в общем виде.
Заранее спасибо за такие ссылки.

В названии темы потеряно словно "через"
"Уравнения Эйнштейна, записанные через коэффициенты Ламе?"

[Утундрий]

В ЛЛ2 в какой-то из задач приводится формула для вычисления тензора Риччи в случае диагональной метрики.

[svv]

Есть статья: Existence of elastic deformations with prescribed principal strains and triply orthogonal systems. Авторы D. DeTurck, D. Yang. Можно скачать через Sci Hub.

В статье показано (p.258, remark), что в случае риманова многообразия размерности $\geqslant 4$ существование локальной системы координат, в которой метрика диагональна, влечёт равенство нулю тензора Вейля. Я не проверял, проходит ли это доказательство для псевдоримановой метрики, но при беглом просмотре не увидел ничего, что бы этому мешало.

А поскольку в ОТО тензор Вейля совершенно не обязан обращаться в нуль, то ...

[Divergence]

Спасибо за комментарии и ссылки.
Утундрий Вы видимо имели ввиду В ЛЛ2 параграф 92 (Свойства тензор кривизны). Ничего такого не нашел.
SVV Спасибо за Sci Hub - классная штука.
Скачал Статью Existence of elastic deformations with prescribed principal strains and triply orthogonal systems.
Интересная, пригодиться. Но искал другое.

Искал статьи (книги), в которых в общем виде для произвольной диагональной метрики

$$ds^2 \, = \, g_{00}(x)(dx^0)^2 \, - \, \sum^3_{k=1}g_{kk}(x)(dx^k)^2$$

или

$$ds^2 \, = \, H^2_0(x) (dx^0)^2 \, - \, \sum^3_{k=1}H^2_k(x) (dx^k)^2$$

явно записаны уравнения Эйнштейна.
Понятно для статей это мало, и ожил, что таких статьях получены какие-нибудь результаты или описаны свойства, или ... касающиеся именно уравнения Эйнштейна для общего диагонального вида метрики , а не частных видов.
Не уж то никто не писал таких статей. Не поверю.

[svv]

Divergence
Значит, Вас не смущает, если искомая форма записи принципиально не сможет охватывать всё множество решений классических уравнений Эйнштейна, а будет описывать только частный случай диагонализируемых метрик?

[Divergence]

Меня это не будет смущать в том же смысле, в каком не смущает рассмотрение уравнения Эйнштейна для сферически симметричной метрики. Хотя Теорема 4.2 в указанной вами статье очень интересна. Я не знал этот факт. Не уж то это может быть верно и 4-мерии с псевдоримановой метрикой.

[svv]

Divergence в сообщении #1647717 писал(а):

Не уж то это может быть верно и 4-мерии с псевдоримановой метрикой.

Наверняка с какими-то оговорками. Например, для решения Шварцшильда тензор Вейля отличен от нуля, но метрика Шварцшильда диагональна.

Но, интуитивно, в общем случае метрика всё же недиагонализируема (а, как я думал, для Вас важна общность).

[Divergence]

Общность была бы просто шикарна. Но исходно такой цели не ставил, полагая диагональная метриуа не сможет охватывать всё множество решений.

[drzewo]

Интересно, а какие-нибудь проверяемые критерии диагонализируемости римановой метрики существуют?

[svv]

drzewo, поясните, какой смысл Вы вкладываете в слово «проверяемость»?
В статье, которую я привёл, приводится необходимое условие локальной диагонализируемости римановой метрики. Оно подходит Вам? Оно проверяемо?

[drzewo]

Уверен, что с необходимыми условиями проблем не возникает:). Я произнес слово <<критерий>>.
Что касается <<проверяемости>> -- это понятно, вот ,напримсер, теорема Фробениуса дает критерий интегрируемости дифференциального распределения. В конкретной задаче можно посчитать производные, проверить равенства, и знать, что распределение интегрируемо. При том, что в явном виде мы его никогда не проинтегрируем.

[svv]

drzewo в сообщении #1647729 писал(а):

Уверен, что с необходимыми условиями проблем не возникает:). Я произнес слово <<критерий>>.

Всё понятно, я употребляю термины «признак» и «критерий» так же.
Мой ответ — не знаю.

[Утундрий]

Divergence в сообщении #1647714 писал(а):

Ничего такого не нашел.

Плохо искали:

[Divergence]

Утундрий Супер. Спасибо. Да плохо искал. В конце параграфа 92, задача 2.
Жалко, что это просто задача по математике, и никаких физических результатов, или описаны свойств гравитационного поля, или соответствующего уравнения Эйнштейна не обсуждается