Интеграл Пуассона и комплексный коэффициент

[Ascold]

Выделением полного квадрата легко получается, что

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(ax^2+bx+c)}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^\frac{b^2-4ac}{4a}.$$

Задумался - а что если коэффициент $b$ мнимый? Такое встречается в квантовой механике. Как быть уверенным, что формула по-прежнему верна, ведь теперь интегрируется комплексная функция?
После выделения полного квадрата получается интеграл

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+\frac{b}{2a})}d(x+b/2a)$$

и так же ли "хорошо" $(x+b/2a)\to\pm\infty$ при мнимом $b$, как и при действительном?

[thething]

Да вроде теорема Коши помогает. Интеграл $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x+i\alpha)^2}d(x+i\alpha)$ сводится к интегралу $\displaystyle\int\limits_{-\infty+i\alpha}^{+\infty+i\alpha}e^{-z^2}dz=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$. Это равенство следует из теоремы Коши, применённой к прямоугольнику $-R<\operatorname{Re} z<R$, $0<\operatorname{Im} z<\alpha$ (если $\alpha>0$) и перехода к пределу при $R\to+\infty$.

[Padawan]

Из соображения аналитического продолжения следует, что формула верна при любых комплексных $a, b, c$ при условии $\operatorname{Re}a>0$.