2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 19:18 


12/05/24
6
По мере прочтения замечаю, что далеко не каждое упражнение способен решить. То мелькают какие-то комбинаторные формулы, то еще что, и в итоге у меня уже на подсознании выработалась мысль, будто упражнения отсюда решать смысла нет. Это первая "проблема", и проблемы из себя она почти не представляет, поскольку применение результата из упражнения видел 1 раз на 100 страниц(именно на такой странице я сейчас). В общем, я перестал понимать о чем идет речь в параграфе, да и само повествование с третьей главы как-то усложнилось. В связи с чем встаёт вопрос: самодостаточна ли книга Куратовского, Мостовского? Стоит ли читать какую-то доп. литературу? Если ответ-да, самодостаточна, тогда задам второй вопрос. Если нет-прошу подсказать альтернативы. Из альтернатив пытался читать Виленкина-изложение показалось детским. Пытался также читать Вавилова Н.А.-очень современное и не совсем понятное изложение, более того, автор иногда использует термины, которые сам вводит только через 100 страниц. В общем вопрос: что из себя представляет всё-таки последовательность $\varphi$, члены которой принадлежат некоторому множеству Z, удовлетворяющей равенствам:
$\varphi$(0)=z, $\varphi$(n')=e($\varphi$(n),n), где z$\in$Z, а e-функция, отображающая Z$\times$N в Z.
То, что последовательность это всё та же функция, у которой лишь область определения суть множество натуральных чисел, я знаю. Наверное, будет проще, если я изложу свои мысли по поводу этого, а вы напишете в чем я ошибаюсь, или где я и что не додумал. Ход моих мыслей таков: e($\varphi$(n),n)=z$\in$Z, $\varphi$(n)=z$\in$Z, n$\in$N, т.к. e-двуместная ф-я, то $\varphi$(n')=e(Z$\times$N)=z$\in$Z, т.е. $\varphi$(n'): Z$\times$N$\to$Z. Это все понятно. Но проблема то в чем: как я понимаю, речь в параграфе здесь идет о том, чтобы дать возможность определить все члены последовательности по функции. Т.к. функция от n', если подставить n=0, даст нам n=1, и дальше весь натуральный ряд подставить можем. Но каким образом Z$\times$N$\to$Z дает нам перенос к следующему члену последовательности? Более того, я не особо то и понимаю что такое Z$\times$N$\to$Z. Да, понимаю что это множество упорядоченных пар, но ведь это же получается что мы сначала идем от множества Z в N, а потом обратно от N в Z. Разве мы не возвращаемся к тому же члену последовательности? Есть и другая мысль: первая будет выполняться только если воспринимать всю ситуацию как функцию от обратной функции, в то время как вторая моя мысль следующая: имеем функцию от n, и ее значения принимают любой z$\in$Z. Тогда ставим декартово произведение упорядоченных пар <$z_1$ ,n>| n$\in$N. Тогда n пробегает все значения натуральных чисел, в то время как z фиксировано(это уже не особо важно). Тогда мы ставим отображение для n$\in$N в множество Z, тем самым получая все члены последовательности. Однако вторая мысль отводит совершенно не туда, и речь тут уже не про n+1-й член последовательности. В итоге обе интерпретации от меня это какая-то каша. В чем я не прав? Если кто-то вообще не понял что я несу, то можете открыть 99 страницу книги Куратовского, Мостовского по теории множеств и прочесть первый абзац и пункт а) к нему приложенный. Всем благ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 20:35 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Вы точно понимаете, что здесь $n'$ — это число, следующее после $n$, то есть $n+1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 20:48 


12/05/24
6
warlock66613 в сообщении #1646868 писал(а):
Вы точно понимаете, что здесь $n'$ — это число, следующее после $n$, то есть $n+1$?

Я точно понимаю что n' это последователь n. Если вы мне хотите сказать что я во "второй мысли" нашел ответ, то я заметил что мое суждение/"мысль" ошибочно(а). Я взял из декартового произведения <z,n> только все n для отображения в z. Как мне кажется, вообще незаконный поступок

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 21:11 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Тогда предлагаю рассмотреть какой-нибудь пример. Возьмём $Z=\mathbb Z$, $\varphi(0)=0$ и $e: (x, n) \mapsto x + n$. Можете найти $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(3)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 21:21 


12/05/24
6
warlock66613 в сообщении #1646872 писал(а):
Тогда предлагаю рассмотреть какой-нибудь пример. Возьмём $Z=\mathbb Z$, $\varphi(0)=0$ и $e: (x, n) \mapsto x + n$. Можете найти $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(3)$?

При помощи теории множеств я вообще не представляю как найти здесь $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(3)$, лишь при помощи решения этого задания как школьного уравнения могу предположить, что будет соответственно 1, 2 и 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 21:27 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Подставьте $n=0$ в $\varphi(n')=e(\varphi(n), n)$, что получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 21:36 


12/05/24
6
warlock66613 в сообщении #1646876 писал(а):
Подставьте $n=0$ в $\varphi(n')=e(\varphi(n), n)$, что получится?

сначала e(z,0), потом Z$\times$0=0, т.е. e(0), и тогда $\varphi(n')$: 0$\to$Z, что по моему, сводится к $\varphi(0)$ экв. z

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 21:54 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
istrebitel1337 в сообщении #1646878 писал(а):
сначала e(z,0)
Подстановка подразумевает подстановку в обе части, и слева и справа. Давайте я подставлю, получится следующее:
$$\varphi(0')=e(\varphi(0), 0).$$
Далее, мы знаем что такое $0'$, не правда ли? Это просто $1$. А $\varphi(0) = 0$ по предложенному мной условию. Получим
$$\varphi(1)=e(0, 0).$$
Осталось вспомнить что такое $e$. Я написал $e: (x, n) \mapsto x + n$. Это означает, что $e$ — это функция двух чисел, которая отображает любую пару чисел в их сумму. Так что $e(2,3)=5$, $e(5,2)=7$, и вообще $e(x, n) = x + n$. Вот что означает эта запись. Применим это знание, получим
$$\varphi(1)=0+0,$$
то есть
$$\varphi(1)=0.$$

Перечитайте что я тут написал, всё ли понятно? Можете теперь найти $\varphi(2)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 22:07 


12/05/24
6
warlock66613 в сообщении #1646881 писал(а):
istrebitel1337 в сообщении #1646878 писал(а):
сначала e(z,0)
Подстановка подразумевает подстановку в обе части, и слева и справа. Давайте я подставлю, получится следующее:
$$\varphi(0')=e(\varphi(0), 0).$$
Далее, мы знаем что такое $0'$, не правда ли? Это просто $1$. А $\varphi(0) = 0$ по предложенному мной условию. Получим
$$\varphi(1)=e(0, 0).$$
Осталось вспомнить что такое $e$. Я написал $e: (x, n) \mapsto x + n$. Это означает, что $e$ — это функция двух чисел, которая отображает любую пару чисел в их сумму. Так что $e(2,3)=5$, $e(5,2)=7$, и вообще $e(x, n) = x + n$. Вот что означает эта запись. Применим это знание, получим
$$\varphi(1)=0+0,$$
то есть
$$\varphi(1)=0.$$

Перечитайте что я тут написал, всё ли понятно? Можете теперь найти $\varphi(2)$?


$$\varphi(1')=e(\varphi(1), 1).$$
$$\varphi(2)=e(\varphi(1), 1).$$
$$\varphi(0')=e(\varphi(0), 0).$$
$$\varphi(1)=e(\varphi(0), 0).$$
$$\varphi(1)=0+0=0, тогда $$
$$\varphi(2)=0+1=1 $$

вроде понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 22:25 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Ну вот. Так вот и определяются любое значение $\varphi$. Теперь о смутившей вас записи $Z \times N$. Это просто означает, что $e$ —функция двух (то есть пары) аргументов, причём первый аргумент должен быть из множества $Z$, а второй — из множества $N$. Больше эта запись ничего не обозначает, и ничего в неё или наоборот её подставлять не требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр
Сообщение19.07.2024, 22:28 


12/05/24
6
warlock66613 в сообщении #1646887 писал(а):
Ну вот. Так вот и определяются любое значение $\varphi$. Теперь о смутившей вас записи $Z \times N$. Это просто означает, что $e$ —функция двух (то есть пары) аргументов, причём первый аргумент должен быть из множества $Z$, а второй — из множества $N$. Больше эта запись ничего не обозначает, и ничего в неё или наоборот её подставлять не требуется.

Понял. Спасибо вам за такое доходчивое объяснение!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group