Самодостаточна ли книга Куратовского,Мостовского по тм?+вопр

[istrebitel1337]

По мере прочтения замечаю, что далеко не каждое упражнение способен решить. То мелькают какие-то комбинаторные формулы, то еще что, и в итоге у меня уже на подсознании выработалась мысль, будто упражнения отсюда решать смысла нет. Это первая "проблема", и проблемы из себя она почти не представляет, поскольку применение результата из упражнения видел 1 раз на 100 страниц(именно на такой странице я сейчас). В общем, я перестал понимать о чем идет речь в параграфе, да и само повествование с третьей главы как-то усложнилось. В связи с чем встаёт вопрос: самодостаточна ли книга Куратовского, Мостовского? Стоит ли читать какую-то доп. литературу? Если ответ-да, самодостаточна, тогда задам второй вопрос. Если нет-прошу подсказать альтернативы. Из альтернатив пытался читать Виленкина-изложение показалось детским. Пытался также читать Вавилова Н.А.-очень современное и не совсем понятное изложение, более того, автор иногда использует термины, которые сам вводит только через 100 страниц. В общем вопрос: что из себя представляет всё-таки последовательность $\varphi$, члены которой принадлежат некоторому множеству Z, удовлетворяющей равенствам:
$\varphi$(0)=z, $\varphi$(n')=e($\varphi$(n),n), где z$\in$Z, а e-функция, отображающая Z$\times$N в Z.
То, что последовательность это всё та же функция, у которой лишь область определения суть множество натуральных чисел, я знаю. Наверное, будет проще, если я изложу свои мысли по поводу этого, а вы напишете в чем я ошибаюсь, или где я и что не додумал. Ход моих мыслей таков: e($\varphi$(n),n)=z$\in$Z, $\varphi$(n)=z$\in$Z, n$\in$N, т.к. e-двуместная ф-я, то $\varphi$(n')=e(Z$\times$N)=z$\in$Z, т.е. $\varphi$(n'): Z$\times$N$\to$Z. Это все понятно. Но проблема то в чем: как я понимаю, речь в параграфе здесь идет о том, чтобы дать возможность определить все члены последовательности по функции. Т.к. функция от n', если подставить n=0, даст нам n=1, и дальше весь натуральный ряд подставить можем. Но каким образом Z$\times$N$\to$Z дает нам перенос к следующему члену последовательности? Более того, я не особо то и понимаю что такое Z$\times$N$\to$Z. Да, понимаю что это множество упорядоченных пар, но ведь это же получается что мы сначала идем от множества Z в N, а потом обратно от N в Z. Разве мы не возвращаемся к тому же члену последовательности? Есть и другая мысль: первая будет выполняться только если воспринимать всю ситуацию как функцию от обратной функции, в то время как вторая моя мысль следующая: имеем функцию от n, и ее значения принимают любой z$\in$Z. Тогда ставим декартово произведение упорядоченных пар <$z_1$ ,n>| n$\in$N. Тогда n пробегает все значения натуральных чисел, в то время как z фиксировано(это уже не особо важно). Тогда мы ставим отображение для n$\in$N в множество Z, тем самым получая все члены последовательности. Однако вторая мысль отводит совершенно не туда, и речь тут уже не про n+1-й член последовательности. В итоге обе интерпретации от меня это какая-то каша. В чем я не прав? Если кто-то вообще не понял что я несу, то можете открыть 99 страницу книги Куратовского, Мостовского по теории множеств и прочесть первый абзац и пункт а) к нему приложенный. Всем благ.

[warlock66613]

Вы точно понимаете, что здесь $n'$ — это число, следующее после $n$, то есть $n+1$?

[istrebitel1337]

warlock66613 в сообщении #1646868 писал(а):

Вы точно понимаете, что здесь $n'$ — это число, следующее после $n$, то есть $n+1$?

Я точно понимаю что n' это последователь n. Если вы мне хотите сказать что я во "второй мысли" нашел ответ, то я заметил что мое суждение/"мысль" ошибочно(а). Я взял из декартового произведения <z,n> только все n для отображения в z. Как мне кажется, вообще незаконный поступок

[warlock66613]

Тогда предлагаю рассмотреть какой-нибудь пример. Возьмём $Z=\mathbb Z$, $\varphi(0)=0$ и $e: (x, n) \mapsto x + n$. Можете найти $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(3)$?

[istrebitel1337]

warlock66613 в сообщении #1646872 писал(а):

Тогда предлагаю рассмотреть какой-нибудь пример. Возьмём $Z=\mathbb Z$, $\varphi(0)=0$ и $e: (x, n) \mapsto x + n$. Можете найти $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(3)$?

При помощи теории множеств я вообще не представляю как найти здесь $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(3)$, лишь при помощи решения этого задания как школьного уравнения могу предположить, что будет соответственно 1, 2 и 3

[warlock66613]

Подставьте $n=0$ в $\varphi(n')=e(\varphi(n), n)$, что получится?

[istrebitel1337]

warlock66613 в сообщении #1646876 писал(а):

Подставьте $n=0$ в $\varphi(n')=e(\varphi(n), n)$, что получится?

сначала e(z,0), потом Z$\times$0=0, т.е. e(0), и тогда $\varphi(n')$: 0$\to$Z, что по моему, сводится к $\varphi(0)$ экв. z

[warlock66613]

istrebitel1337 в сообщении #1646878 писал(а):

сначала e(z,0)

Подстановка подразумевает подстановку в обе части, и слева и справа. Давайте я подставлю, получится следующее:

$$\varphi(0')=e(\varphi(0), 0).$$

Далее, мы знаем что такое $0'$, не правда ли? Это просто $1$. А $\varphi(0) = 0$ по предложенному мной условию. Получим

$$\varphi(1)=e(0, 0).$$

Осталось вспомнить что такое $e$. Я написал $e: (x, n) \mapsto x + n$. Это означает, что $e$ — это функция двух чисел, которая отображает любую пару чисел в их сумму. Так что $e(2,3)=5$, $e(5,2)=7$, и вообще $e(x, n) = x + n$. Вот что означает эта запись. Применим это знание, получим

$$\varphi(1)=0+0,$$

то есть

$$\varphi(1)=0.$$

Перечитайте что я тут написал, всё ли понятно? Можете теперь найти $\varphi(2)$?

[istrebitel1337]

warlock66613 в сообщении #1646881 писал(а):

istrebitel1337 в сообщении #1646878 писал(а):

сначала e(z,0)

Подстановка подразумевает подстановку в обе части, и слева и справа. Давайте я подставлю, получится следующее:

$$\varphi(0')=e(\varphi(0), 0).$$

Далее, мы знаем что такое $0'$, не правда ли? Это просто $1$. А $\varphi(0) = 0$ по предложенному мной условию. Получим

$$\varphi(1)=e(0, 0).$$

Осталось вспомнить что такое $e$. Я написал $e: (x, n) \mapsto x + n$. Это означает, что $e$ — это функция двух чисел, которая отображает любую пару чисел в их сумму. Так что $e(2,3)=5$, $e(5,2)=7$, и вообще $e(x, n) = x + n$. Вот что означает эта запись. Применим это знание, получим

$$\varphi(1)=0+0,$$

то есть

$$\varphi(1)=0.$$

Перечитайте что я тут написал, всё ли понятно? Можете теперь найти $\varphi(2)$?

$$\varphi(1')=e(\varphi(1), 1).$$

$$\varphi(2)=e(\varphi(1), 1).$$

$$\varphi(0')=e(\varphi(0), 0).$$

$$\varphi(1)=e(\varphi(0), 0).$$

$$\varphi(1)=0+0=0, тогда $$

$$\varphi(2)=0+1=1 $$

вроде понял

[warlock66613]

Ну вот. Так вот и определяются любое значение $\varphi$. Теперь о смутившей вас записи $Z \times N$. Это просто означает, что $e$ —функция двух (то есть пары) аргументов, причём первый аргумент должен быть из множества $Z$, а второй — из множества $N$. Больше эта запись ничего не обозначает, и ничего в неё или наоборот её подставлять не требуется.

[istrebitel1337]

warlock66613 в сообщении #1646887 писал(а):

Ну вот. Так вот и определяются любое значение $\varphi$. Теперь о смутившей вас записи $Z \times N$. Это просто означает, что $e$ —функция двух (то есть пары) аргументов, причём первый аргумент должен быть из множества $Z$, а второй — из множества $N$. Больше эта запись ничего не обозначает, и ничего в неё или наоборот её подставлять не требуется.

Понял. Спасибо вам за такое доходчивое объяснение!