Уравнение из модели Кондратьева

[makxsiq]

Ende
Выделено из темы «Связь»

Кондратьев в для своей модели вывел уравнение динамики народного дохода
$E=m\sqrt{AK}$
проинтегрировав дифференциальное уравнение в частных производных, которое связывает сумму капитала $K$, населения $A$ и размеры дохода $E$
$E=\dfrac{\partial E}{\partial K}K + \dfrac{\partial E}{\partial A}A$
Не совсем понятно, при этом, есть ли другие решения.
И что характерно, это решение является функцией Кобба-Дугласа.

[Red_Herring]

makxsiq в сообщении #1646190 писал(а):

Кстати, есть интересный исторический пример, вроде из этой серии.

Никакого отношения.

makxsiq в сообщении #1646190 писал(а):

Не совсем понятно, при этом, есть ли другие решения.

Разумеется, есть.

[makxsiq]

Мне не встречался этот пример в учебниках.

[Red_Herring]

makxsiq в сообщении #1646210 писал(а):

Мне не встречался этот пример в учебниках.

Это никакого отношения к обсуждаемой теме не имеет. И вашему уравнению место в ППР (м).

[makxsiq]

Red_Herring в сообщении #1646215 писал(а):

makxsiq в сообщении #1646210 писал(а):

Мне не встречался этот пример в учебниках.

Это никакого отношения к обсуждаемой теме не имеет. И вашему уравнению место в ППР (м).

Спасибо за ваше ценное мнение, было бы интересно услышать мнения других участников.

[пианист]

makxsiq в сообщении #1646210 писал(а):

Мне не встречался этот пример в учебниках

Точно есть в учебнике Курант, Гильберт, в самом начале второго тома, "Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными". Да и много где, ищите учп первого порядка.
Общий интеграл Вашего уравнения $E = A\varphi (\frac{K}{A})$, $\varphi$ произвольная гладкая функция.

[drzewo]

копирую прямо из своего конспекта лекций
[теорема Эйлера об однородных функциях
Пусть область

$$D\subset \mathbb{R}^m=\{x=(x^1,\ldots, x^m)\}$$

является конической( Множество $K$ называется коническим, если оно инвариантно относительно любой гомотетии

$$x\mapsto \lambda x,\quad \lambda>0:\quad \lambda K=K.$$

), и $f\in C^1(D)$.

Тогда если существует постоянная $s$ такая, что

$$f(\lambda x)=\lambda^sf(x)$$

для всех $x\in D$ и $\lambda>0$, то

$$x^i\frac{\partial f}{\partial x^i}(x)=sf(x),\quad x\in D.$$

Верно и обратное.

[Red_Herring]

drzewo А с какой стати решение должно быть положительно однородным? Похоже, что Кондратьев сначала написал решение, а потом подбирал уравнение и модель под него.

(Оффтоп)

Я видел только одно не вполне тривиальное УЧП из экономике (Black – Scholes). И то сводится к уравнению теплопроводности.

[drzewo]

Red_Herring в сообщении #1646384 писал(а):

drzewo А с какой стати решение должно быть положительно однородным?

Это, собственно, что значит? Хотите доказательство теоремы Эйлера об однородных функциях увидеть?

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1646395 писал(а):

Это, собственно, что значит?

Это значит, что ТС написал УЧП, линейное и первого порядка и поинтересовался, есть ли другие решения. Я ответил "разумеется есть". Кроме того ему написали (правильно)

пианист в сообщении #1646358 писал(а):

Общий интеграл Вашего уравнения $E = A\varphi (\frac{K}{A})$, $\varphi$ произвольная гладкая функция.

На этом дело закончено.

[drzewo]

Red_Herring в сообщении #1646407 писал(а):

Кроме того ему написали (правильно)

Написали локальную формулу. А с какой стати рассматривать задачу об однородных функциях локально? В приложениях эта задача локально не ставится.
Вот, например, функция $\sqrt{K^2+A^2}$ удовлетворяет уравнению

makxsiq в сообщении #1646190 писал(а):

$E=\dfrac{\partial E}{\partial K}K + \dfrac{\partial E}{\partial A}A$

в области $(K,A)\in\mathbb{R}^2\backslash\{0\}$
И как представить эту функцию в виде

пианист в сообщении #1646358 писал(а):

Общий интеграл Вашего уравнения $E = A\varphi (\frac{K}{A})$, $\varphi$ произвольная гладкая функция.

при том, что в этой формуле $A\ne 0$.

И вообще, странно как-то не говорить о теореме Эйлера и однородных функциях в контексте вопроса ТС

[B@R5uk]

drzewo в сообщении #1646419 писал(а):

И как представить эту функцию в виде

$$\varphi(x)=\cos(\arcsin x),\quad|x|\le 1$$

[ozheredov]

B@R5uk
Я думал $A\sqrt{1 + {\left(\frac{K}{A}\right)}^2}$, не?

Пы.Сы.: как по-нормальному возводить скобки в степень, чтоб не по-уродски выглядело? )

-- 16.07.2024, 00:09 --

drzewo в сообщении #1646419 писал(а):

при том, что в этой формуле $A\ne 0$.

Так устранимый же разрыв вроде

[Ende]

ozheredov в сообщении #1646425 писал(а):

Пы.Сы.: как по-нормальному возводить скобки в степень, чтоб не по-уродски выглядело? )

Дроби берутся в скобки так.
\left ( \frac{a}{b} \right )
$\left ( \frac{a}{b} \right )$

[ozheredov]

Ende, спасибо! Вроде бы исправил.