Связь

[drzewo]

В плоскости $xy$ движется частица. На нее наложена связь $\dot xy+\dot y+y=0$. Проинтегрировать связь.
(Сложного ничего нет, но как-то такие вопросы обычно в учебники не попадают.)

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Если $y(t)\ne 0$ для всех $t$ , то $x(t)+t+\ln |y(t)| =C $ . В противном случае $y(t) \equiv 0$ .

[drzewo]

так точно
Тем не менее вопрос не праздный. Придумать уравнение или систему уравнений можно и посложнее так, что не угадаешь. А регулярным методам решения таких систем не учат.

[Mihr]

drzewo в сообщении #1646067 писал(а):

как-то такие вопросы обычно в учебники не попадают

Какие именно? Вопрос поиска интегрирующего множителя?

[drzewo]

Mihr в сообщении #1646096 писал(а):

Вопрос поиска интегрирующего множителя?

у вас несколько упрощенное представление о предмете разговора:)

[Mihr]

drzewo в сообщении #1646124 писал(а):

у вас несколько упрощенное представление о предмете разговора:)

Пока я вижу просто математическую задачу: решить дифференциальное уравнение. Это уравнение решается при помощи интегрирующего множителя. Сложного в решении действительно ничего нет, но предлагается увидеть за этим нечто более глубокое. Не знаю, что вы имели в виду, я не телепат. Потому и задал вопрос. Не хотите отвечать - ну, не надо.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1646125 писал(а):

Пока я вижу просто математическую задачу: решить дифференциальное уравнение.

Вообще говоря, есть нюансы в терминологии. Обычно дифференциальное уравнение задаёт закон движения системы. А связь говорит о том, как система может двигаться, не задавая закон движения однозначно. Тут я написал "обычно". Может и необычные случаи бывают.

[drzewo]

Mihr в сообщении #1646125 писал(а):

щи интегрирующего множителя. Сложного в решении действительно ничего нет, но предлагается увидеть за этим нечто более глубокое. Не знаю, что вы имели в виду, я не телепат. Потому и задал вопрос. Не хотите отвечать - ну, не надо.

Хорошо, я вас, видимо, не так понял. Извините. Отвечаю на ваш вопрос:

Mihr в сообщении #1646096 писал(а):

drzewo в сообщении #1646067 писал(а):

как-то такие вопросы обычно в учебники не попадают

Какие именно? Вопрос поиска интегрирующего множителя?

Да, в том числе этот.

[Mihr]

ОК, спасибо.

[Red_Herring]

Mihr в сообщении #1646125 писал(а):

Пока я вижу просто математическую задачу: решить дифференциальное уравнение.

У нас нет ОДУ, по крайней мере, в стандартном смысле, т.к. в данном примере есть одна независимая переменная, две зависимые, и одно уравнение.

[Mihr]

Red_Herring в сообщении #1646140 писал(а):

У нас нет ОДУ

Да, это понятно.

[Padawan]

drzewo в сообщении #1646067 писал(а):

На нее наложена связь $\dot xy+\dot y+y=0.$

Перепишем как

$$dt=-dx-\frac{dy}y.$$

Тогда задача сводится к восстановлению функции по полному дифференциалу (с предварительной проверкой условия полного дифференциала). Это делают и на матанализе и на дифурах. Более сложные вполне интегрируемы системы и правда почти не рассматриваются.

[drzewo]

Я привел неудачный (простой слишком) пример. Потом объяснил, что имел в виду:

drzewo в сообщении #1646071 писал(а):

Тем не менее вопрос не праздный. Придумать уравнение или систему уравнений можно и посложнее так, что не угадаешь. А регулярным методам решения таких систем не учат.

-- 13.07.2024, 11:11 --

Задача интегрирования (интегрируемого) дифференциального распределения размерности $k$ на $m$- мерном многообразии сводится к решению $k$ штук систем ОДУ порядка $m$. Иногда они решаются стандартными трюками, которые проходят в курсах ОДУ

[Padawan]

drzewo
А можете поинтересней пример привести ?

[drzewo]

Padawan в сообщении #1646201 писал(а):

drzewo
А можете поинтересней пример привести ?

Ну вы же понимаете как такие примеры делаются. Берем несколько функций, дифференцируем, домножаем на что-нибудь, складываем. Студент может не увидеть как это сделано, вы -- нет.