2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти норму функционала
Сообщение16.06.2024, 22:18 


16/06/24
8
Всем здравствуйте, пытаюсь решить дз в универе, задача следующая:
$f(x) = \int_0^3(s^3-9s)x(s)ds,\\
X=L_1[0,3].$
Вычислить норму функционала.
Смог оценить его сверху,
$|f(x)|=|\int_0^3(s^3-9s)x(s)ds|\le^{(*)} \int_0^3|(s^3-9s)x(s)|ds\le^{(**)}\\\le^{(**)} \int_0^3|s^3-9s|\cdot|x(s)|ds
\le^{(***)} \max_{s\in[0,3]}|s^3-9s|\int_0^3|x(s)|ds = 6\sqrt{3}||x||_{L_1[0,3]}$.
Звёздочками отметил неравенства, чтобы к ним удобнее было обращаться в тексте.
Пытался подобрать x, при котором норма достигалась бы, но не получается. Можно попробовать оценить его снизу, чтобы оценки совпали, и тогда будет готов ответ, но не знаю как оценить снизу. Подскажите, что можно сделать или где можно почитать что-нибудь, что поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение16.06.2024, 22:27 


21/12/16
721
Там вроде бы общий факт есть. Если $f:L^1\to\mathbb{R},\quad f(u)=\int gu,\quad g\in L^\infty,\quad u\in L^1$ то
$\|f\|=\|g\|_{L^\infty}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение16.06.2024, 22:38 


16/06/24
8
drzewo в сообщении #1643032 писал(а):
Там вроде бы общий факт есть. Если $f:L^1\to\mathbb{R},\quad f(u)=\int gu,\quad g\in L^\infty,\quad u\in L^1$ то
$\|f\|=\|g\|_{L^\infty}$

Спасибо)
Можете подсказать, где написано такое утверждение? Просто, не видел такого, и хочется опираться на учебник, может там и доказательство написано, хочется знать, почему так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение16.06.2024, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Возьмите $u(x) = \begin{cases} \operatorname{sign}(g(x)), & |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon \\ 0 \end{cases}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение17.06.2024, 12:36 


16/06/24
8
mihaild, не совсем понял что у вас за функция. Вернее, на какую g она воздействует?
Если я правильно понял, у вас есть последовательность функций u, которые берут функцию g и возвращают ступенчатого вида функцию от x. Воздействовать на нее данным мне оператором я просто так не могу, я ведь ничего не знаю о g.Что с этой функцией u нужно делать и что за g?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение17.06.2024, 12:40 


21/12/16
721
mihaild в сообщении #1643039 писал(а):
Возьмите $u(x) = \begin{cases} \operatorname{sign}(g(x)), & |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon \\ 0 \end{cases}$.

$u(x) = \frac{1}{\mu\{ |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon\}}\begin{cases} \operatorname{sign}(g(x)), & |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon \\ 0 \end{cases}$

-- 17.06.2024, 13:42 --

SD27 в сообщении #1643035 писал(а):
Можете подсказать, где написано такое утверждение?

Канторович Акилов Функциональный анализ

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение17.06.2024, 12:43 


16/06/24
8
drzewo,
Спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение17.06.2024, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
SD27 в сообщении #1643095 писал(а):
Вернее, на какую g она воздействует?
Она воздействует на $u$.
У Вас есть функционал $f$, задаваемый функцией $g \in L_\infty$; в Вашем случае $g(s) = s^3 - 9s$. Для этого функционала и числа $\varepsilon$ выше задана функция $u$. Посмотрите на отношение $\frac{|f(u)|}{\|u\|_1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение26.06.2024, 23:52 


16/06/24
8
Как ещё один вариант решения, я использовал последовательность функций
$x_n(s) = \begin{cases}
-n,  s \in [\sqrt{3} - \dfrac{1}{2n}, \sqrt{3} + \dfrac{1}{2n}]\\\\
0,  s \notin [\sqrt{3} - \dfrac{1}{2n},\sqrt{3} + \dfrac{1}{2n}]
\end{cases}$
Предел $\lim_{n \rightarrow \infty}|f(x_n)|$ сходится к $6\sqrt3$, норма функций из последовательности равна 1, что легко проверить. Получается, норма функционала равна $6\sqrt3$, и если я все правильно понял, то на данном пространстве она недостижима.

Решил оставить это тут, на всякий случай если кто-нибудь сюда забредет в поисках примера решения подобных задач.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group