Функциональное уравнение

[Edward_Tur]

$f: \mathbb Q\rightarrow\mathbb R$:

$$3f(x+y+z)+f(-x+y+z)+f(x-y+z)+f(x+y-z)+4f(x)+4f(y)+4f(z)=4f(x+y)+4f(y+z)+4f(z+x)$$

[waxtep]

$f$ нечетна, а ее производная $g$ - четна, и имеем

$$g(x+y)+g(x-y)=2g(x)+2g(y)-2g(0)$$

что для $y=x$ дает

$$g(2x)=4g(x)-3g(0)\Rightarrow f(x)=ax^3+bx$$

[Deathrose]

waxtep в сообщении #1643964 писал(а):

$f$ нечетна, а ее производная $g$ - четна, и имеем

$$g(x+y)+g(x-y)=2g(x)+2g(y)-2g(0)$$

что для $y=x$ дает

$$g(2x)=4g(x)-3g(0)\Rightarrow f(x)=ax^3+bx$$

По условию $f$ - отображение $\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$, для которого дифференцируемость не определена, а во-вторых, в условии и без этого ничего не сказано о предполагаемой дифференцируемости $f$ (т.е. даже если бы в условии было $f:\mathbb{R}\to\mathbb {R}$).

[waxtep]

Deathrose в сообщении #1643966 писал(а):

По условию $f$ - отображение $\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$, для которого дифференцируемость не определена, а во-вторых, в условии и без этого ничего не сказано о предполагаемой дифференцируемости $f$ (т.е. даже если бы в условии было $f:\mathbb{R}\to\mathbb {R}$).

Да, это меня тоже несколько смутило, но что с этим делать, я, честно говоря, не знаю. Т.е. да, возможно есть какие-то ещё решения более экзотического вида

[venco]

Для произвольных $f(1)=a, f(2)=b$:
$f(\frac p q)=\frac p q (a+(b-2a){\frac{p^2-q^2}{6q^3}})$

Что, в принципе, то же самое, что и просто $f(x)=cx+dx^3$.