Ассоциативность произведения сигма алгебр

[seraphimt]

Добрый день! Подскажите, пожалуйста, всё ли правильно вышло.
Задача: есть три сигма алгебры $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\mathcal{A}_3$, доказать, что их произведение ассоциативно.

Сперва насчёт ассоциативности декартового произведения. Насколько я понимаю, её нет и $(a, b, c) \ne (a, (b, c)) $, но существует очевидная биекция $ (a, b, c) \to (a, (b, c))$, поэтому каждый раз, когда отождествляем $(a, b, c)$ и $ (a, (b, c))$ незримо ей пользуемся.

$S_1= \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 \otimes \mathcal{A}_3 =\sigma(A_1\times A_2\times A_3)$
$ S_2= \mathcal{A}_1 \otimes (\mathcal{A}_2 \otimes \mathcal{A}_3 )=\sigma(A_1\times \sigma(A_2\times A_3))$

Поскольку $S_2$ содержит образующее семейство $A_1\times A_2\times A_3 $ для $S_1$, то $S_1 \subset S_2$

Обратно, рассмотрим множество $ \{ A_1 \in \mathcal{A}_1 : A_1 \times B \in \sigma( \mathcal{A}_1 \times\mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_3))\} $ где фиксирован $B =A_2 \times A_3\in \sigma( \mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_3)$. Это сигма алгебра(был на лекции аналогичный пример), и содержит $\mathcal{A}_1$.
Множество $ \{B =A_2 \times A_3 \in \sigma( \mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_3) : A_1 \times B \in \sigma( \mathcal{A}_1 \times\mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_2))\}$ где фиксирован $A_1 \in \mathcal{A}_1$ тоже сигма алгебра, содержащая $\sigma( \mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_3)$
Значит любой прямоугольник $A_1\times B \in \sigma( \mathcal{A}_1 \times\mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_3)$, а это порождающее семейство для $S_2 $ и $S_2 \subset S_1$.

[dgwuqtj]

С последним множеством проблема: те $B$, которые раскладываются в произведение, не образуют сигма-алгебру. Вам же по сути надо просто доказать, что $\mathcal A_1 \times \sigma(\mathcal A_2 \times \mathcal A_3) \subseteq \sigma(\mathcal A_1 \times \mathcal A_2 \times \mathcal A_3)$.

[seraphimt]

dgwuqtj в сообщении #1642770 писал(а):

Вам же по сути надо просто доказать, что $\mathcal A_1 \times \sigma(\mathcal A_2 \times \mathcal A_3) \subseteq \sigma(\mathcal A_1 \times \mathcal A_2 \times \mathcal A_3)$.

А, если я ничего не напутал, то образующие $S_2$ будут лежать в $S_1$ тк для фиксированного $A_1 \in \mathcal{A}_1$ и любого $ B \in \mathcal{A}_2 \times\mathcal{A}_3.$
$ \{A_1 \times B\} \in \sigma(\mathcal A_1 \times \mathcal A_2 \times \mathcal A_3)$