Найти норму функционала

[SD27]

Всем здравствуйте, пытаюсь решить дз в универе, задача следующая:
$f(x) = \int_0^3(s^3-9s)x(s)ds,\\ X=L_1[0,3].$
Вычислить норму функционала.
Смог оценить его сверху,
$|f(x)|=|\int_0^3(s^3-9s)x(s)ds|\le^{(*)} \int_0^3|(s^3-9s)x(s)|ds\le^{(**)}\\\le^{(**)} \int_0^3|s^3-9s|\cdot|x(s)|ds \le^{(***)} \max_{s\in[0,3]}|s^3-9s|\int_0^3|x(s)|ds = 6\sqrt{3}||x||_{L_1[0,3]}$.
Звёздочками отметил неравенства, чтобы к ним удобнее было обращаться в тексте.
Пытался подобрать x, при котором норма достигалась бы, но не получается. Можно попробовать оценить его снизу, чтобы оценки совпали, и тогда будет готов ответ, но не знаю как оценить снизу. Подскажите, что можно сделать или где можно почитать что-нибудь, что поможет.

[drzewo]

Там вроде бы общий факт есть. Если $f:L^1\to\mathbb{R},\quad f(u)=\int gu,\quad g\in L^\infty,\quad u\in L^1$ то
$\|f\|=\|g\|_{L^\infty}$

[SD27]

drzewo в сообщении #1643032 писал(а):

Там вроде бы общий факт есть. Если $f:L^1\to\mathbb{R},\quad f(u)=\int gu,\quad g\in L^\infty,\quad u\in L^1$ то
$\|f\|=\|g\|_{L^\infty}$

Спасибо)
Можете подсказать, где написано такое утверждение? Просто, не видел такого, и хочется опираться на учебник, может там и доказательство написано, хочется знать, почему так.

[mihaild]

Возьмите $u(x) = \begin{cases} \operatorname{sign}(g(x)), & |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon \\ 0 \end{cases}$.

[SD27]

mihaild, не совсем понял что у вас за функция. Вернее, на какую g она воздействует?
Если я правильно понял, у вас есть последовательность функций u, которые берут функцию g и возвращают ступенчатого вида функцию от x. Воздействовать на нее данным мне оператором я просто так не могу, я ведь ничего не знаю о g.Что с этой функцией u нужно делать и что за g?

[drzewo]

mihaild в сообщении #1643039 писал(а):

Возьмите $u(x) = \begin{cases} \operatorname{sign}(g(x)), & |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon \\ 0 \end{cases}$.

$u(x) = \frac{1}{\mu\{ |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon\}}\begin{cases} \operatorname{sign}(g(x)), & |g(x)| > \|g\|_\infty - \varepsilon \\ 0 \end{cases}$

-- 17.06.2024, 13:42 --

SD27 в сообщении #1643035 писал(а):

Можете подсказать, где написано такое утверждение?

Канторович Акилов Функциональный анализ

[SD27]

drzewo,
Спасибо большое!

[mihaild]

SD27 в сообщении #1643095 писал(а):

Вернее, на какую g она воздействует?

Она воздействует на $u$.
У Вас есть функционал $f$, задаваемый функцией $g \in L_\infty$; в Вашем случае $g(s) = s^3 - 9s$. Для этого функционала и числа $\varepsilon$ выше задана функция $u$. Посмотрите на отношение $\frac{|f(u)|}{\|u\|_1}$.

[SD27]

Как ещё один вариант решения, я использовал последовательность функций
$x_n(s) = \begin{cases} -n, s \in [\sqrt{3} - \dfrac{1}{2n}, \sqrt{3} + \dfrac{1}{2n}]\\\\ 0, s \notin [\sqrt{3} - \dfrac{1}{2n},\sqrt{3} + \dfrac{1}{2n}] \end{cases}$
Предел $\lim_{n \rightarrow \infty}|f(x_n)|$ сходится к $6\sqrt3$, норма функций из последовательности равна 1, что легко проверить. Получается, норма функционала равна $6\sqrt3$, и если я все правильно понял, то на данном пространстве она недостижима.

Решил оставить это тут, на всякий случай если кто-нибудь сюда забредет в поисках примера решения подобных задач.